2015年山东省高考理科数学真题试卷（有答案）

A11f()?sinA??0?sinA? 2223由题意A是锐角，所以 cosA?

2 由余弦定理：a2?b2?c2?2bccosA

22可得1?3bc?b?c?2bc

1?2?3，且当b?c时成立 ?bc?2?3 （II）

?bcsinA?2?3 42?3 4 ??ABC面积最大值为

（17）

（Ⅰ）证法一：

连接DG，CD，设CD?GF?O，连接OH 在三棱台DEF?ABC中，

AB?2DE，G为AC的中点， 可得DF//GC，DF?GC,

所以 四边形DFCG为平行四边形， 则 O为CD的中点， 又 H为BC的中点， 所以OH//BD,

又OH?平面FGH BD?平面FGH， 所以BD//平面FGH 证法二：

在三棱台DEF?ABC中，

由BC?2EF,H为BC的中点， 可得 BH//EF,BH?EF,

所以四边形BHFE为平行四边形， 可得 BE//HF,

在?ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点， 所以GH//AB,

又GH?HF?H,所以平面FGH//平面ABED, 因为 BD?平面ABED, 所以 BD//平面FGH。 （II）解法一：

设AB?2,则CF?1,

在三棱台DEF?ABC中， G为AC的中点，

1A 由DF?AC?GC,

2

zDFEGHByCx

可得 四边形DGCF为平行四边形， 因此DG//FC,

又 FC?平面ABC， 所以 DG?平面ABC，

在?ABC中，由AB?BC，?BAC?45?，G是AC中点， 所以 AB?BC，GB?GC, 因此 GB,GC,GD两两垂直，

以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G?xyz， 所以 G(0，0，0)，B(2,0，0)，C(0，2,0),D(0，0，1)

22，,0)，F(0，2,0) 2222 故GH?(，,0),GF(0，2,0)，

22 设n?(x,y,z)是平面FGH的一个法向量，则 可得 H(??n?GH?0x?y?0 由? 可得? ???n?GF?0?2y?z?0 可得 平面FGH的一个法向量n?(1,?1,2)，

（2，0,0） 因为GB是平面ACFD的一个法向量，GB?

GB?n21??

|GB|?|n|222 所以平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60? 解法二：

作HM?AC与点M，作MN?GF与点N，连接NH DE 由FC?平面ABC,得HM?FC, 又 FC?AC?C,

N 所以HM?平面ACFD， MG 因此 GF?NH, AH 所以?MNH即为所求的角，

B12 在?BGC中，MH//BG,MH?BG?,

22 由?GNM~?GCF,

MNGM? 可得, FCGF6 从而MN?,

6 由 HM?平面ACFD，MN?平面ACFD， 得 HM?MN，

HM?3, 因此 tan?MNH?MN 所以 ?MNH?60?,

所以 平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60?。 所以 cosGB,n?

FC

（18）

解：（I）因为2Sn?3n?3，

所以2a1?3?3，故 a1?3， 当n?1时，2Sn?1?3n?1?3，

此时 2an?2Sn?2Sn?1?3n?3n?1?2?3n?1，即an?3n?2，

?3,n?1an??n?2 所以 ?3,n?1

1， 3 当n?1时，bn?3n?2log23n?1?(n?1)?31?n，

1 所以T1?b1?；

31 Tn?b1?b2?b3???bn??(1?3?1?2?3?2???(n?1)?32?n)，

30?13?n3T?1?(1?3?2?3???(n?1)?3) n 所以

（II）因为anbn?log32，所以 b1? 两式相减，得

2 2Tn??(30?3?1?3?2???32?n)

321?32?n?(n?1)?32?n ???231?3136n?3 ??， n62?3136n?3? 所以Tn? 124?3n 经检验，n?1也适合，

136n?3? 综上可得 Tn? n124?3

（19）

解：（I）个位数是5的“三位递增数”有 125，135，145，235，245，345；

3 （II）由题意知，全部“三位递增数”的个数为C9?84， 随机变量X是取值为：0，-1,1，因此

3C82 P(X?0)?3?，

C932C41 P(X??1)?3?

C914 P(X?1)?1?1?2?11，

14342 所以X的分布列为

0 -1 21 P 31421114? 则 EX?0??(?1)?1?

3144221

（20）

解：（I）由题意知2a?4，则a?2，

X 1 11 42c322?,a?c?b2， a2 可得 b?1

x2 所以椭圆C的方程为?y2?1

4x2y2?1 （II）由（I）知椭圆E的方程为?164|OQ|??,由题意知Q(??x0,??y0)， （i）设P(x0,y0),|OP| 又

x2 因为0?y0?1

42(??x0)2(??y0)2?x02??1， 即 (?y0)?1 又

16444|OQ| 所以 ??2，即?2

|OP| （ii）设A(x1,y1),B(x2,y2)，

将y?kx?m代入椭圆E的方程，

可得(1?4k2)x2?8kmx?4m2?16?0， 由 ??0，可得 m2?4?16k2

8km4m2?16,x1x2? 则有 x1?x2?? 221?4k1?4k2416k2?4?m2 所以 |x1?x2|? 21?4k 因为 直线y?kx?m与y轴交点的坐标为(0,m)，

1 所以 ?OAB的面积S?|m||x1?x2|

2216k2?4?m2|m| ? 21?4k2(16k2?4?m2)m2 ?

1?4k2m2m2 ?2(4? )1?4k21?4k2m2?t 令21?4k