2015年山东省高考理科数学真题试卷（有答案）

绝密★启用前

2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。 3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式： 如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).

第Ⅰ卷（共50分）

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的

（1） 已知集合A={X|X2-4X+3<0}，B={X|2

（A）（1，3） （B）（1，4） （C）（2，3） （D）（2，4）

Z?i，其中i为虚数单位，则Z= （2）若复数Z满足1?i （A）1-i （B）1+i （C）-1-i （D）-1+i

?（3）要得到函数y=sin（4x-）的图像，只需要将函数y=sin4x的图像（）

3??（A）向左平移个单位 （B）向右平移个单位

1212??（C）向左平移个单位 （D）向右平移个单位

33（4）已知菱形ABCD 的边长为a，∠ABC=60o ,则BDCD＝

（A）-

（B）-

（C）

（D）

（5）不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是

（A）（-，4） （B）（-，1） （C）（1，4） （D）（1，5）

（6）已知x,y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=

（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3

（7）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD//BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为

（A） （B） （C） （D）2

（8）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为

（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ<ξ<μ+σ）=68.26%，P（μ-2σ<ξ<μ+2σ）=95.44%.）

（A）4.56% （B）13.59% （C）27.18% （D）31.74% （9）一条光线从点（-2，-3）射出，经y轴反射后与圆反射光线所在直线的斜率为（） （A）（C）

或或

（B（D）

或或

,则满足f(f(a))=

的a的取值范围是（）

相切，则

（10）设函数f(x)=（A）[,1]（B）[0,1] （C）[

（D）[1, +

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）观察下列各式： C10=40

??

照此规律，当n?N时，

C02n-1 + C12n-1 + C22n-1 +?+ Cn-12n-1 = .

?(12)若“?x?[0,]，tanx?m”是真命题，则实数m

4的最小值为

（13）执行右边的程序框图，输出的T的值为 .

(14)已知函数f(x)?ax?b(a?0,a?1) 的定义域和值域都是??1,0? ，则a?b?

x2y2（15）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：2?2?1ab（a>0,b>0）的渐近线与抛物线C2：

否

X2=2py(p>0)交于O，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为 ＿＿＿ 三、解答题：本答题共6小题，共75分。 （16）（本小题满分12分）

?设f（x）=sinxcosx?cos2（x+）.

4（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

A（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A,B,C,的对边分别为a,b,c,若f（）=0,a=1,求△ABC面积

2的最大值。

(17)(本小题满分12分)

如图，在三棱台DEF-ABC中，

AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点。 （Ⅰ）求证：BC//平面FGH； （Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE, ∠BAC=450 ,求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小.

（18）（本小题满分12分）

设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn=3n+3. （I）求{an}的通项公式；

（II）若数列{bn}满足anbn=log32，求{bn}的前n项和Tn.

（19）（本小题满分12分）

若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位

数字，则称n为“三位递增数”（如137,359,567等）.

在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1

个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得?1分；若能被10整除，得1分.

（I）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；

（II）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX. （20）（本小题满分13分）

平面直角坐标系右焦点分别是

中，已知椭圆：

的离心率为，左、

.以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相

交，且交点在椭圆上. (Ⅰ)求椭圆的方程； （Ⅱ）设椭圆

交椭圆 于

为椭圆上任意一点，过点的直线 两点，射线

交椭圆 于点 .

( i )求的值；

面积的最大值.

（ii）求△

(21)(本小题满分14分)

设函数f(x)=In(x+1)+?(x2-x)，其中??R。 （Ⅰ）讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；

（Ⅱ）若??>0，f(?)?0成立，求?的取值范围。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

理科数学试题参考答案

一、 选择题

（1）C （2）A （3）C （4）D （5）A （6）B （7）C （8）B （9）D (10)C

二、填空题

1133（11）4n?1 （12）1 （13） （14）? （15）

622

三、解答题 （16）

1?cos(2x?)12 解：（Ⅰ）由题意f(x)?sin2x?221112x??sin2x ?sin22212x? ?sin2?? 由??2k??2x??2k? k?Z

22?? 可得??k??x??k? k?Z

44

?3??2k? k?Z 由?2k??2x?22?3??k? k?Z 得?k??x?44?? 所以f(x)的单调递增区间是[??k?,?k?]（k?Z）

44?3??k?]（k?Z） 单调递减区间是[?k?,44

?