2019年中考数学真题分类训练——专题十：三角形

AC?AF， ∵AE?AB，∴△BAC≌△EAF， ∴EF?BC．

（2）∵AB?AE，?ABC?65?， ∴?BAE?180??65??2?50?， ∴?FAG?50?， ∵△BAC≌△EAF， ∴?F??C?28?， ∴?FGC?50??28??78?．

59．（2019无锡）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于点O． 求证：（1）△DBC≌△ECB； （2）OB?OC．

证明：（1）∵AB=AC， ∴∠ECB=∠DBC，

?BD?CE?在△DBC与△ECB中，??DBC??ECB，

?BC?CB?∴△DBC≌△ECB．

（2）由（1）△DBC≌△ECB， ∴∠DCB=∠EBC，

∴OB=OC．

60．（2019枣庄）在△ABC中，?BAC?90?，AB?AC，AD?BC于点D．

（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且?BMN?90?，当∠AMN?30?，AB?2时，求线段

AM的长；

（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且?EDF?90?，求证：BE?AF；

（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且?BMN?90?，求证：AB?AN? 2AM．

证明：（1）∵?BAC?90?，AB?AC，AD?BC，

∴AD?BD?DC，?ABC??ACB?45?，?BAD??CAD?45?， ∵AB?2，∴AD?BD?DC?2,，

∵?AMN?30?，∴?BMD?180??90??30??60?， ∴?BMD?30?，∴BM?2DM，

由勾股定理得，BM2?DM2?BD2，即(2DM)2?DM2?(2)2，解得DM?∴AM?AD?DM?23， 32?23． 3（2）∵AD?BC，?EDF?90?，∴?BDE??ADF，

??B??DAF?在△BDE和△ADF中，?DB?DA，

??BDE??ADF?∴△BDE≌△ADF， ∴BE?AF．

（3）如图，过点M作ME//BC交AB的延长线于E，

∴?AME?90?， 则AE?2AB，?E?45?，∴ME?MA，

∵?AME?90?，?BMN?90?， ∴?BME??AMN，

??E??MAN?在△BME和△AMN中，?ME?MA，

??BME??AMN?∴△BME≌△AMN，∴BE?AN， ∴AB?AN?AB?BE?AE?2AM．

61．（2019温州）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交

ED的延长线于点F．

（1）求证：△BDE≌△CDF；

（2）当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长．

证明：（1）∵CF∥AB， ∴?B??FCD，?BED??F， ∵AD是BC边上的中线，∴BD?CD，

∴△BDE≌△CDF． （2）∵△BDE≌△CDF， ∴BE?CF?2，

∴AB?AE?BE?1?2?3． ∵AD?BC，BD?CD， ∴AC?AB?3．

62．（2019杭州）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．

（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC=2∠B．

（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC=3∠B，求∠B的度数．

证明：（1）∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P， ∴PA=PB， ∴∠B=∠BAP， ∵∠APC=∠B+∠BAP， ∴∠APC=2∠B；

（2）根据题意可知BA=BQ， ∴∠BAQ=∠BQA，

∵∠AQC=3∠B，∠AQC=∠B+∠BAQ， ∴∠BQA=2∠B，