辅助线在三角形问题中的应用

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等的性质可得出∠DBC=∠BCF, ∠FCA=∠CAE.又因为∠DBC-20°,∠C=∠BCF+∠FCD=90°∴∠CAE=∠FCA=∠C-∠BCF=90°-20°=70°. 3）作已知线段的中点

分析:先在三角形的已知线段中找出中点，则可以利用该中点作出三角形的中线，再利用中线的相关性质解题.（例题如例2） 4）已知两点可作线段或直线

分析：作两已知点的连线，点在不同的位置所得线段的性质不同，比如说线段可能是角平分线、中线、中位线等，再利用不同线段特有的性质加以帮助解题.（例题如例4）. 5）线段可以延长

例9：（2009山东）如图9所示，在ΔABC中，∠BAC=90°,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD 于点E,求证;BD=2CE.

分析：延长某一线段是平面几何添加辅助线的常用方法，往往可以利用角的性质使所求的问题更加简便.

解：延长CE、BD相交于点F，在ΔFBE和ΔCBE中，∵∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC=90°.∴ΔFBE≌ΔCBE∴CE=EF=错误！未找到引用源。CF∴CF=2CE.在RtΔBFE中，∠FBE=90°-∠F,同理∠ACF=90°-∠F∴∠ACF=∠FBE.又∠BAD=∠CAF=90°,AB=AC∴ΔABD≌ΔACF∴BD=CF∴BD=2CE. 6）作一线段等于已知线段

FAEDB图 9

C分析：在一个三角形中，利用题目中相关的已知条件间的关系，可以尝试作一辅助线段等于已知线段，使其形成特殊的三角形，再利用其特殊性质解题.比如在例7中则是作的CF等于已知线段BE，然后形成了特殊的三角形等边三角形，再利用等边三角形的性质来解决问题的. 7）作一角等于已知角

分析：其实要作一角等于已知角的最简单的方法就是添加一条平行线，利用平行线中内错角相等、同位角相等的性质即可以作出一角等于已知角.同样的，旋转一个图形也可以得到一个已知角，如在例8中，解题方法就是利用的旋转.

以上可以看出从题设出发添加辅助线的情况很多，题设是添加辅助线的第一信息来源，为了应用已知条件，必须把条件涉及的几何元素归到解基本图形中，如果基本图形不全，就要添加辅助线，构成完整的基本图形.一条恰当的辅助线能使一个复杂的几何问题迎刃而解，关键是要结合题目已知条件和图形的特征，联想与之有关的知识点来添加辅助线.

2由结果向条件反推添辅助线法

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从求解的问题入手，虽然结论中的信息通常只有一个，相比题设中的条件少了很多，然而，从这一个结论中反而能够更加直观地以构造一个怎样的图形为目的来解题，以及怎样构造是解决问题的核心.根据结论来达到某一目的的构造需要注意的是要添加辅助线构造出怎样的图形构造出的图形一般是具有某种特征的，比如说构造直角三角形、等腰三角形和全等三角形.这就需要根据结论中需要求解的对象，利用不同三角形的不同性质加以构造.

2.1添辅助线构造特殊三角形法 2.1.1构造直角三角形法

构造直角三角形的一般方法为作直线的垂线或垂直平分线，构造出一个直角便可以加以利用直角构造出直角三角形.

例10：（2011内蒙古包头中考，24）如图10，在RtΔABC中，AB=BC=5，∠B=90°,将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC上的点P处，当AP=AC=1︰4时，PE和PF有怎样的数量关系？证明你发现的结论.

分析：该问题所求的PE和PF不在同一直线上，要求两者间的数量关系可以想到利用相似三角形来求解.在此题中，若构造相似三角形可以构造直角三角形来解题，在两个直角三角形中已有一个直角相等，使得证明过程更加简便. 解：结论为PE︰PF=1︰3

证明：过点P作PM⊥AB,垂足为点M,作PN⊥BC,垂足为点N，则∠EPM+∠EPN=∠EPM+∠FPN=90°∴∠EPM=∠FPN.又∵

∠EMP=∠FNP=90°∴ΔPME∽ΔPNF∴PM︰PN=PE︰PF∵RtΔAMP和RtΔPNC均为等腰直角三角形，∴ΔAPM∽ΔCPN∴PM︰PN= AP︰CP又∵PA︰PC= 1︰4∴PE︰PF= 1︰3. 2.1.2构造等腰三角形法

利用特殊三角形的特殊性质可以构造出特殊的三角形，这也是一种解几何题的技巧. 1）作直角三角形斜边上的中线构造等腰三角形

例11：如图11，在ΔABC中，∠BAC=90°,点E在BC的延长线上，ED⊥AC交AC延长线于点D,AE=错误！未找到引用源。BC,求证：∠BED=错误！未找到引用源。∠AED.

分析：由结论反推可知欲证∠BED=错误！未找到引用源。∠AED，可证∠BED=错误！未找到引用源。∠AEB,B由AB∥DE有∠B=∠BED,需证∠BED=错误！未找到引用源。∠AEB，∠BED与∠AEB由已知条件可知并无此

图 11

FCDEAAMENBFCP图 10

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种关系，于是由AE=错误！未找到引用源。BC可联想到斜边BC上的中线.

证明：取BC上的中点F,连接AF,则在RtΔABC中AF=错误！未找到引用源。BC,则AF=BF,故∠B=∠BAF,又∵AE=错误！未找到引用源。BC∴AE=AF∴∠AFE=∠AEF则∠AEF=∠AFE=∠B+∠BAF=2∠B又∵ED⊥AC∴AB∥ED,∠B=∠AEB，故∠BED=∠B=错误！未找到引用源。∠AEB∴∠BED=错误！未找到引用源。∠AED. 2）一般三角形中有二倍角时可以构造等腰三角形

例12：如图12，已知在三角形ABC中，∠B=2∠C,AD是∠A的平分线，求证：AB+BD=AC. 分析：当三角形中有二倍角时，可以使使二倍角是等腰三角形的外角或角二倍角，该题中欲证AB+BC=AC,则需将AB和BC转移到同一条直线上，该题中有二倍角，则可延长AB到E，使BE=BD,只需证AE=AC即可.

证明：延长AB到E使BE=BD,连接DE，则∠E=∠3∴∠4=2∠E∵∠4=2∠C,∴∠E=∠C∵AD是∠A的平分线∴∠1=∠2，又AD=AD∴ΔAED≌ΔACD∴AE=AC∴AB+BD=AB+BE=AC.

2.2添加辅助线构造全等三角形法 1）连接公共边构全等三角形

例13：已知，如图13，AC、BD相交于O点，且AB=DC,AC=BD,求证：∠A=∠D. 分析：要证∠A=∠D，可以转化为证∠A和∠D所在三角形全等，而题中条件不易证出ΔABO≌ΔDCO,故需添加辅助线，构造出更易证明的全等三角形. 证明：如图13，连接BC，则在ΔABC和ΔDCB中，∵AB=CD,AC=CD,BC=CB∴ABC≌DCB∴∠A=∠D. 2）作平行线构全等三角形

分析：在例5中，也可以从结论着手得到证明，欲证D为EF中点，即证FD=DE,则可证FD和DE所在三角形全等，图中已有ΔECD,故还需要构造出边FD所在的三角形，即作FG∥AE即可得证.

3）连线构等腰构全等三角形

分析：在例12中，从结论出发，欲证AB+BD=AC，即可证AB与BD所在的三角形于AC所在的三角形ADC全等，但AB与BD不在同一直线上，则需构造出一个与ΔADC全等且AB与BD在同一直线的三角形，故可延长AB于E使BE=BD，使得ΔAED≌ΔACD即可得证. 4）倍长中线法构全等三角形

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4A12BE3DC图 12

AODBC图 13

ABDEC内江师范学院本科学年论文

例14：如图14，AD是ΔABC的边BC上的中线，AB=5，AC=7，求中线AD的取值范围. 分析：设法将AB、AD、AC转移到同一个三角形中是解决问题的关键，这时就需要将其中一条线段转移在另两边直线所在的三角形上，而构造全等三角形是转移线段的最好方法.

解：延长AD到点E，使DE=AD,连接CE∵BD=CD,∠ADB=∠EDC,AD=ED∴ΔADB≌ΔEDC∴AB=EC=5，由三角形三边关系定理知在ΔAEC中∣AC-CE∣＜AE＜∣AC+CE∣即2＜AE＜12，故1＜AD＜6.

5）延长与中点、高有关的线段构全等三角形

分析：例14其实也属于延长与中点有关线段构造全等三角形一类，因其延长的是原来长度的一倍的特殊性，故而单列一种，再次便不再单独举例说明. 6）截长补短法构全等三角形

分析：在上文所述的例题中，例5属于构造法中的截长法，例12属于构造中的补短法.这样有目的的进行连接或延长，变换等量关系来构造全等三角形能够帮助解决等量关系问题.

7）利用角平分线的性质构全等三角形

例15：（2009陕西中考，16）如图15在锐角ΔABC中，AB=错误！未找到引用源。，∠BAC=45°,∠BAC的角平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）.

分析：在角平分线上既有两个相等的角，又有一条公共边，故在角平分相上构造出全等三角形是很简易方便的. 解：根据题意，延长BM交AC于点E,当BE⊥AC,且MN⊥AB时BM+MN最小∵∠1=∠2，AM=AM,∠AEM=∠ANM=90°∴ΔAEM≌ΔANM∴ME=MN∴BM+MN=BM+ME=BE又∵∠CAB=45°,AB=错误！未找到引用源。,由勾股定理得BE=4. 8）利用垂直平分线构全等三角形

例16：如图16，已知ΔABC的边BC的垂直平分线DE与∠BAC的角平分线交于E，EF⊥AB的延长与F，EG⊥AC于G,求证：BF=CG.

分析：因垂直平分线有垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，从中可以得出既有两边相等，一个相等的直角，还有一条公共边，为全等三角形的构造提供了便捷方法. 解：连接BE、CE∵BE垂直平分BC∴BE=CE又∵AE平分∠FAC, EF⊥AF,EG⊥AC∴EF=EG,在RtΔBFE和RtΔCGE中，∵

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图 14

CEMDA图 15

NBAGCBFDE图 16