湖南省永州市2011年中考数学试题及答案-解析版

（2）由（1）知道△ABC是直角三角形， ∴AC=

=12，

∵∠OEB=∠ABC，∠OBE=∠C=90°， ∴△ACB∽△OBE， ∴OB：AC=BE：BC， 而OA=10，BC=16， ∴10：12=BE：16， ∴BE=

．

点评：此题主要考查了圆的切线的性质与判定，也利用相似三角形的性质与判定解决问题，解题时首先利用已知条件证明切线，然后利用相似三角形的性质解决问题．

2

24、（2011?永州）如图，已知二次函数y=﹣x+bx+c的图象经过A（﹣2，﹣1），B（0，7）两点． （1）求该抛物线的解析式及对称轴； （2）当x为何值时，y＞0？

（3）在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作x轴的垂线，垂足分别为F，E．当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．

考点：二次函数综合题。 分析：（1）根据待定系数法求二次函数解析式，再用配方法或公式法求出对称轴即可； （2）求出二次函数与x轴交点坐标即可，再利用函数图象得出x取值范围； （3）利用正方形的性质得出横纵坐标之间的关系即可得出答案．

2

解答：解：（1）∵二次函数y=﹣x+bx+c的图象经过A（﹣2，﹣1），B（0，7）两点． ∴

，

解得：

2

，

∴y=﹣x+2x+7，

2

=﹣（x﹣2x）+7，

2

=﹣[（x﹣2x+1）﹣1]+7，

2

=﹣（x﹣1）+8， ∴对称轴为：x=1．

（2）当y=0，

2

0=﹣（x﹣1）+8，

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∴x﹣1=±2x1=1+2

，

，

，x2=1﹣2

∴抛物线与x轴交点坐标为：（1﹣2∴当1﹣2

＜x＜1+2

时，y＞0；

，0），（1+2，0），

（3）当矩形CDEF为正方形时，

2

假设C点坐标为（x，﹣x+2x+7），

22

∴D点坐标为（﹣x+2x+7+x，﹣x+2x+7），

22

即：（﹣x+3x+7，﹣x+2x+7）， ∵对称轴为：x=1．

2

∴﹣x+3x+7﹣1=﹣x+1， 解得：x1=﹣1，x2=5，

2

x=﹣1时，﹣x+2x+7=4． ∴C点坐标为：（﹣1，4）．

点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及利用图象观察函数值和正方形性质等知识，根据题意得出C、D两点坐标之间的关系是解决问题的关键． 25、（2011?永州）探究问题： （1）方法感悟： 如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF． 感悟解题方法，并完成下列填空：

将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得： AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°， ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，

因此，点G，B，F在同一条直线上．

∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣45°=45°． ∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°． 即∠GAF=∠ FAE ． 又AG=AE，AF=AF

∴△GAF≌ △EAF ．

∴ GF =EF，故DE+BF=EF．

（2）方法迁移：

如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想

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DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．

（3）问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质。 分析：（1）利用角之间的等量代换得出∠GAF=∠FAE，再利用SAS得出△GAF≌△EAF，得出答案； （2）作出∠4=∠1，利用已知得出∠GAF=∠FAE，再证明△AGF≌△AEF，即可得出答案； （3）根据角之间关系，只要满足∠B+∠D=180°时，就可以得出三角形全等，即可得出答案． 解答：解：（1）根据等量代换得出∠GAF=∠FAE， 利用SAS得出△GAF≌△EAF， ∴GF=EF，

故答案为：FAE；△EAF；GF；

（2）证明：延长CF，作∠4=∠1，

∵将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB， ∴∠1+∠2=∠3+∠5， ∠2+∠3=∠1+∠5， ∵∠4=∠1，

∴∠2+∠3=∠4+∠5， ∴∠GAF=∠FAE，

∵∠4=∠1，∠ABG=∠ADE，AB=AD， ∴△AGB≌△AED， ∴AG=AE，BG=DE，

∵AF=AF，∠GAF=∠FAE， ∴△AGF≌△AEF， ∴GF=EF， ∴DE+BF=EF；

（3）当∠B与∠D满足∠B+∠D=180°时，可使得DE+BF=EF．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定以及折叠的性质和旋转变换性质等知识，根据题意作出与已知相等的角，利用三角形全等得出是解决问题的关键．

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