2014全国数学建模大赛B题

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5.2.1模型的建立与求解

1、符号说明：

D：桌面直径、平板的宽 l：最外侧桌腿的长度

?：最外侧桌腿与水平桌面方向的夹角 M：平铺时钢筋位置距桌脚的水平距离

L0：任意桌腿的开槽长度

L：任意桌腿长度

x0：完全展开时钢筋到桌腿顶端的距离 ①折叠桌的立体图如下： 图2.1：折叠桌的立体图 ②平铺时的平面图如下： 图

2.2：桌子长方形平铺图 其中，EE'表示钢筋位置；ST表示任意一根桌腿的位置；M表示钢筋位置到水平桌面左侧的距离；L0表示桌腿ST开槽长度；L表示桌腿ST的长度；x0表示任意桌腿ST的开槽左端到连接桌面圆的距离；则

③完全折叠后侧面的平面图如下：

图2.3：桌子折叠后横截面

其中，AB表示水平桌面横截面；CD表示最外侧桌腿记l?CD；?表示水平桌面与最外侧桌腿的夹角；E表示钢筋位置，DJ表示地面；OO'表示桌子中心线位置；ST表示任意一根桌腿的位置；CO、IO'表示最外侧桌腿CD与桌面连接处到桌面中心线的距离；则CO?IO'?2.5cm。

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考虑到产品稳固性好，则最外侧四个桌腿够成正方形，且与桌面圆形相外切，此时有

ABDDO'??,DI?DO'?IO'，则

22 其中，D表示桌面直径；H表示桌子折叠后的高度；z表示桌子的厚度；x表桌子水平放置时的长度；

由②和③可知，任意桌腿ST的开槽左端到连接桌面圆的距离为： 以及钢筋位置到平铺桌面左侧的距离为： 由勾股定理有： 且由几何关系有： 即 而

其中，?R表示桌面圆半径的微小变化量；a表示桌面圆半径以2.5cm为间隔的累加。 从而任意桌腿ST的长度为 ④最外侧桌腿的受力分析： 图2.4：最外侧桌腿的受力分析 其中，?表示水平桌面与最外侧桌腿的夹角；点Q表示最外侧桌腿CD的中点；DE表示钢筋位置到桌脚的距离；Fx，Fy表示桌面对桌腿的作用力；F1表示地面对桌腿的支持力；F2表示钢筋对桌腿的作用力；G表示桌腿的重力； 则对C点由力矩的平衡方程，有： CD G??cos??F2?(CD?DE)?sin??F1?CD?cos? (1) 2对P点由力矩的平衡方程，有： CD Fx?(CD?DE)?sin??Fy?(CD?DE)?cos??F1??cos? (2) 2对最外侧桌腿CD由平衡条件，可得： ?F2?Fx ? (3) F?G?Fy?1将式（3）带入式（2）中可得： 3CD?DE)?cos? (4) 2由式（1）和式（4）对比（以等式左侧为例，右侧相同）可得： 即

G?(CD?DE)?cos??F2?(CD?DE)?sin??F1?(因此，钢筋位置点E为最外侧桌腿CD的中点，即点E与点Q重合。 2、当桌高H?70,桌面直径D?80时的具体求解：

解得当平板长x?163.8238cm，高z?3cm，由C语言程序得钢管的位置距离桌脚的距离

M?39.706cm 时满足最优设计参数的要求，此时根据r的不同求得每根桌腿的开槽长度分别为：

2.5000 14.1421 19.5256 23.4521 26.5753 29.1548 31.3249 33.1662 精心整理

0.0000 7.6506 12.3621 16.3153 19.7722 22.8304 25.5402 27.9332 34.7311 36.0555 37.1652 38.0789 38.8104 39.3700 39.7649 40.0000 30.0317 31.8522 33.4078 34.7086 35.7627 36.5765 37.1545 37.5000 表2.1：1/4桌面圆边缘各桌腿上的开槽长度 5.2.2模型评价

在模型的求解过程中，对于题目中的要求折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。结合生活中的实际情况优先考虑了产品稳固性好的因素，没有对加工方便和用材最少做出很好的诠释，会对结果造成一定的误差。平板的高没有约束条件，故假设与问题一中的高相同，这样也会造成一定的误差。 5.3问题三： 建立数学模型，对桌面形状分别为椭圆和菱形的设计进行作图。 5.3.1模型的建立与求解 ⑴软件设计的数学模型： ⑵创意平板折叠桌的设计： ①椭圆的设计参数： 折叠后桌面高H=80cm，椭圆的长轴长a?80cm，短轴长b?50cm，厚度h?3cm，钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置。 由问题二的模型可求得最优平板长x?180cm 用Matlab编程得到椭圆动态变化过程的示意图： ②菱形的设计参数： 折叠后桌面高H=60cm，菱形桌面对角线c?50cm,厚度h?3cm，钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置。 由问题二模型可求得最优平板长x?134cm 用Matlab编程得到菱形动态变化过程的示意图： 5.3.2模型评价

为了简化模型求解，将钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，钢筋的任意性会使模型的建立完整性不足，但是最终结果还是比较准确的，用Matlab编写出来的动态图能很好的体现折叠桌折叠过程中在三维空间的立体变化，是结果更加直观和准确。

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六、模型评价

模型优点： 模型缺点：

模型改进：对桌子的合理性进行考虑，例如，保证人在坐着的时候，木条尽量不要阻挡人伸腿。

七、参考文献

[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 八、附录 程序1： 运行结果： 程序2： 运行结果： 程序3： 运行结果： 程序4： 运行结果： 程序5： 运行结果： 程序6： 运行结果： 程序7： 运行结果： 程序8： 运行结果： 程序9：

#include #include #define N 16

#define R 40.07804885 void main() {

int i,D=80,H=70; float a=0;

double x=163.823802,M,CD,H0;

double SO[N],S0[N],x0[N],L[N],L0[N];