（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习专项强化练五三角函数最值或值域的求解策略

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专项强化练五 三角函数最值或值域的求解策略

1.(2017陕西西安改编)已知f(x)=sin +cos - 的最大值为A,若存在实数x1,x2,使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则A|x1-x2|的最小值为( ) A. C.

B. D.

答案 B f(x)=sin +cos - =sin +cos

∴A= ,|x1-x2|≥ = ,∴A|x1-x2|≥ ,故选B.

- =2sin .

2.已知函数f(x)=asin x- cos x关于直线x=- 对称,且f(x1)·f(x2)=-4,则|x1+x2|的最小值为( ) A. B. C.

D.

答案 D f(x)=asin x- cos x= sin (x-φ)

,

∵f(x)图象的对称轴为直线x=- ,∴φ=kπ+ (k∈Z),∵f(x1)·f(x2)=-4, ∴x1=- +2k1π(k1∈Z),x2=

+2k2π(k2∈Z),∴| | =

,故选D.

3.已知向量a=(sin ωx,cos ωx),b=(1,-1),函数f(x)= ·b,且ω> ,x∈R,若f(x)的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(3π,4π),则ω的取值范围是( ) A. , ∪ , B. , ∪ , C. , ∪ , D. , ∪ ,

答案 B f(x)=sin ωx-cos ωx= sin - ,由ω>,得T=

<4π,>π,<ω<1,由对称轴

ωx- = +kπ(k∈Z),则x= ,(k∈Z),假设对称轴在区间(3π,4π)内,可知 + <ω< + ,当k=1,2,3时, <ω< , <ω< , <ω< ,现不属于区间(3π,4π),∴上面的并集在全集 <ω<1中做补集,得ω∈ , ∪ , ,故选B.

4.(2018暨阳联谊学校高三联考)锐角三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,B=2A,

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则

= ,

b的取值范围是 . 答案 2;( , )

解析 本题主要考查解三角形.由正弦定理得=

,所以 b=

,所以===2,则 b=2cos A,由三

,

,角形ACB为锐角三角形可得

- - , 所以

5.(2018金丽衢十二校联考)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b+c=4bcsin ,则tan A+tan B+tan C的最小值是 . 答案 8

解析 由余弦定理得b+c=a+2bccos A?a+2bccos A=4bcsin ,

化简得a=2 bcsin A?sin A=2 sin Bsin C?sin Bcos C+cos Bsin C=2 sin Bsin C?tan B+tan C=2 tan Btan C.

令tan Btan C=x,则tan B+tan C=2 x, 由△ABC为锐角三角形,得tan A>0,tan B>0,tan C>0, 得tan Btan C=x>1, 所以tan A+tan B+tan C=- - 2

2

2

2

2

22

+tan B+tan C=

x- +2 x,

=2 · ≥ ,

再令x-1=t,则t>0,得tan A+tan B+tan C=2 ·

当且仅当tan Btan C=x=2时,取到等号,则(tan A+tan B+tan C)min=8 . 6.设函数f(x)= sin是 . 答案 m<-2或m>2

解析 f '(x)= πcos x,令f '(x)=0,则 x= +kπ(k∈Z),解得x= +k (k∈Z),即x0= +k (k∈Z).

( ) = +

.若存在f(x)的极值点x0满足 ( )

k +3sin k = k +3coskπ=m k +3,

2

22

222 ∵k∈Z,∴k= 时, + ( ) 取得最小值+3,存在f(x)的极值点x满足 + ( ) 4,解得0

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m<-2或m>2.

7.(2018杭州高三上学期期末)设向量a=(2 sin x,- x),b=( x, x), f(x)= ·b+ . (1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)若方程f(x)=|t- |( ∈R)无实数解,求t的取值范围. 解析 ( )f(x)= ·b+ = sin xcos x-2cosx+1 = sin 2x-cos 2x =2sin - ,

故f(x)的最小正周期为π.

(2)若方程f(x)=|t-t|无解,则|t-t|>f(x)max=2, ∴ -t>2或t-t<-2, 解t-t>2得t>2或t<-1, 解t-t<-2得 ∈?. 综上可得t>2或t<-1.

8.(2018浙江名校协作体)已知函数f(x)=sin ωxcos ωx+cosωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值;

(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在区间 -

2

222

2

2

2

2

2

, 上的最值.

解析 (1)f(x)= sin + ,∵T=(2)g(x)=f(2x)= sin + . 当x∈ -

=π,∴ω=1.

, 时,4x+ ∈ -

, ,

∴g(x)min=g -

=

-

,g(x)max=g(0)=1.

2

9.(2018暨阳联谊学校高三联考)已知函数f(x)= x·( x+b x)(x∈R)的值域为[-1,3]. (1)若函数y=f(x+φ)的图象关于直线x= 对称,求|φ|的最小值; (2)当x∈ ,π]时,方程|f(x)|=c有四个实数根,求c的取值范围.

2

解析 (1)f(x)=asin 2x+bcos 2x+b= sin(2x+θ)+b 其中 ,

由题意可得b- =-1,b+ =3,

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解得a= ,b=1. ∴f(x)= +1.

∴f(x+φ)=2sin +1.

由y=f(x+φ)的图象关于直线x= 对称得 × +2φ+ = +kπ(k∈Z), ∴φ=-(k∈Z),

2

∴|φ|min= .

(2) 作出y=|f(x)|,x∈ ,π]的图象,如图,故y=|f(x)|= 在 , , ,上单调递增;在 , ,

,

,

,

上单调递减,

∵f( )=f(π)=2, f ∴ ∈( , ).

10.(2018嘉兴高三上学期期末)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) , ,| | 的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式;

(2)设函数g(x)=f(x)+4sinx,x∈ , ,求g(x)的值域.

2

=1, f =f

=0,

解析 (1)由题图得A=2,最小正周期T= × - =π, 所以ω=2,

又由 · +φ= +2kπ(k∈Z),得φ=- +2kπ(k∈Z),又|φ|< ,所以φ=- ,所以f(x)=2sin - . (2)g(x)=f(x)+4sinx= sin 2x-cos 2x+2(1-cos 2x)= sin 2x-3cos 2x+2=2 sin - +2,

2

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