北航张量讲义4

在一般坐标系下，可以有下面的转换形式（混变只列出一种）

Tigj?m??jiykyk?yiyj? Tij?m?gijgklykyl?yiyj? （4.194） Tij?m?gijgklykyl?yiyj?这里yk不是坐标，而是r在一般坐标系下到分量，即

r?xiei?yigi（4.194a）

需强调的是，点积xkxk的转换是ykyk或ykyk，不是ykyk或ykyk，后者不满足哑标上下分的一致性原理，如需用协变或逆变分量转换，转换之前，可将点积写成

xkxk??klxkxl

然后利用特征张量的对应关系进行转换。

显然上面三种转换中，混变形式最简单。

例：将下面质点的动量方程组M1－M6（实体或分量）转换为一般坐标系下的分量方程

（M1） ?Dv??f??g? Dt式中?为密度，f为单位质量力，?为应力（2阶对称张量），左端的物质导数可表示为

（M2）

式中，迁移导数可按向量恒等式写为

（M3）vg?v??此外，M1中

（M4） ??C(?):S

式中弹性常数C(?)为各向同性张量

（M5）Cijkl???ij?kl???ik?jl???il?jk

M4中S为变形率张量（也是2阶对称张量）

（M6） S????v??Rv? ?Dv?v??vg?v Dt?tvgv????v?v

解：先考虑M2，由4.1节和4.5.5节可知，迁移导数中的第一个向量用逆变转换可保持质点速度表达式在两种坐标系下一致性，为减少张量的种类同时又不使方程变繁，我们取第二个向量仍为逆变向量作转换，考虑到指标一致性得

Dvi?vi（M?2） ??vjvij?

Dt?t

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M1中，由一致性（包括与M2一致），v和f为逆变量，据散度定义，?的两个指标中一个为自由标，另一个为哑标，前者必为逆变标，后者仍取为逆变标正好与协变导数指标构成哑标，由散度公式（4.171）有

Dvi（M?1） ???fi??jij?

Dt又由一致性和点积，叉积、梯度、旋度的一般公式得

（M?3）vjvi?j??jvvj??i??ijk?jmnvn?mvk ??（M?4） ?ij?Cijkl:Skl

式中C是各向同性张量，其定义见第一章，M5是直角坐标下的通用式，根据特征张量的对应关系，在一般坐标系下应转换为

（M?5）Cijkl??gijgkl??gikgjl??gilgjk

由（4.154）式，M6转换为

（M?6） Sij?

??vj?i?vi?j? ? 84