北航张量讲义4

?gT?gkgij?T?T ?gT?ggk（4.170） Rkk?y?yij?gT?T?RgT?Tij?kgkggigj?Tij?k?ikgj?Tikij?igj （4.171）

ji?kgigjggk?T?k?jkgi?T?kgi?T?igj（4.172）

可见若T为若为对称张量，左散度等于右散度。2阶张量的散度为向量，分量为（以逆变张量为例，并考虑（4.138）式）

Tij?Ti?i???miTi?yijmj??Tjmiim??gT?g?yiijj??miTim （4.173）

利用指标升降运算容易求得其它类型张量的散度公式，如有必要根据（4.170）还可定义任意阶张量的散度并导出计算公式。

3。旋度

由公式（1.29）向量得旋度公式

?ukj?ukk?ukek?v?ykj?v?vkjjjk （4.174） ??v?je?e?e?je?e??e??e??g??x?x?xj?xj?xj?yk?yk最后一个等式是向量旋度的普遍式。还可定义向量得右旋度

?R?v??v?vkk?g??g?????v （4.175） ?yk?yk所以向量的左右旋度互为相反向量，因此我们只需讨论左旋度。由上两式，旋度算子为

???gk???yk?R????gk （4.176） k?ym由协变导数公式得（注意?jk关于jk对称，?ijk关于jk反对称）

??v?vk?jgj?gk??jkivk?jgi??ijk??vkm?j??jkvm??yg1g2??y2v2eijk?vk?ijk?vkgi?gi （4.177） ?gi???yjVG?yj?g3??y3v3???g?y1v1?上式还可写为

??v??:?v （4.178）

若有需要，根据右端式和（4.150）式可定义任意阶张量的旋度。此外向量旋度与反对称张量和反偶向量的关系与卡氏张量相同。

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??v???:???? （4.179）

最后，由指标升降还可导出逆变向量旋度公式。

4.5.5 L(Laplacian)算子与物质导数算子

由前可知，梯度、散度、旋度都可看成是算子?与张量作用的结果。本节讨论另外两个常用的张量微分算子: L（Laplacian）算子和物质导数算子。

1。L算子

L算子是一种复合运算算子，它的运算法则是先对张量求梯度得到另一张量，然后对新张量求散度。我们以逆变向量为例导出L算子的表达式

??v??g??v??gkg??l?v?kg?ggvi?lglgi??l?k??y （4.180） ??y???vi?l??kgkgglgi?vi?klgklgi?vi?kkgi??yk令

ikv?kk?v?kgi （4.181）

式中v?kk表示2阶混变导数与张量基的线性组合，由上面推导过程不难得知，其中v可换成任何张量T如

T?kk?Tikgjk?gigj （4.181a）

与普通导数不同的是，上面表达式中的张量基可提到求导号外面。由此（4.180）式变为

??v??g?v?v?kk （4.181b）

所以，L算子可表示为

??????g???????k????klkgkl （4.182）

例：在直角坐标系下，协变导数变为普通导数，度量张量变为单位张量，则

???????kl????????????????????kk???（4.183）

?xk?xl?x?x?x2?y2?z2这是我们熟悉的算子。利用L算子，Laplacian方程可写为，

????? （4.184）

式中?为标量。

下面推导一般坐标系下，标量?的L算子计算式。因??为向量，在一般坐标系下的协变分量由（4.151）式给出，由指标升降运算得逆变分量

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????k?gkj????j?gkj?? ?yj由L算子的定义和向量散度的计算式（4.169）可以得到任意坐标系下的标量Laplacian算子为

?????g????????kj??gg?g?yk??yj?? （4.184a） ?2。物质导数算子

在张量场中，空间坐标yi是与时间t无关的独立变量，如果我们观察质点在空间的运动，用yi表示质点在t时刻的空间位置，这样空间坐标就转换为时间的函数

yi?yi?t? （4.185）

而质点的速度由节4。1节例2的讨论可表示为

dyiv?vgi?gi （4.186）

dti进一步，我们将质点具有的物理量（如密度、温度、速度等等）用张量T表示

T?Tyi?t?,t （4.187）

??则T随时间的变化率定义为质点的物质导数。由求导法则有

DT?T?T?Tdyj?T?T??j??vj??vjT?jjDt?t?ydt?t?y?t （4.188）

?T?T?T?T?T??vi?ij??vigiggj??vg?Tjj?t?y?t?y?t式中T?j的含意见（4.181）式及说明，它与普通导数表示法最大的不同是张量基可以提到求导符号外。所以物质导数算子为

D???????vjDt?t???j?????vg??? （4.189） ?t算子的第一部分是单纯的时间变化率称当地导数，第二部分是与空间位置变化有关的变化率称迁移导数.

例：质点的加速度为质点的物质导数

Dv?v??vi?a?agi???vg?v???vjvi?j?gi （4.190）

Dt?t??t?i?via??vjvi?j （4.191）

?ti最后指出，前面讨论的微分算子都是张量，具有坐标变换的不变性，故称为不变性微分算子。

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4.6张量方程的转换

张量方程主要有实体、并矢和分量三种形式，第三种实际上是第二种省略形式（略去了基向量）。张量方程包括代数方程、微分方程和积分方程。积分方程的被积式为微分表达式，为简便，下面我们仅讨论张量实体或分量代数方程和微分方程的转换。

物理方程可用物理分量表示为物理分量方程，也可用指标式或实体式表示为张量方程。物理分量方程的形式与选择的坐标系有关，张量方程的形式与坐标系无关。实际运用中，我们常常需把物理分量方程转换为张量方程或把张量方程转换为物理分量方程，还可能需把某－坐标系下的物理分量方程转换为另一坐标系下的物理分量方程，最常见的是把直角坐标系下的物理分量方程转换为曲线坐标系下的物理分量方程，实现这种转换的步骤如下：

?把直角坐标系下的物理分量方程转换为直角坐标系下的张量方程 ?把直角坐标系下的张量方程转换为一般坐标系下的张量方程 ?将一般坐标系下的张量方程在给定曲线坐标系下展开为物理分量方程 ??两步前面章节已作讨论，这里重点讨论?步。

1。选择转换类型的基本原则

在直角坐标系下，不区分上下标，或认为上下标表示的张量相等，因此把直角坐标系下的张量转换为一般坐标系下何种张量（逆变、协变、混变）是面临的首要问题，选择的基本原则是

?任意性：理论上可用任一种张量作转换，在一般坐标下，各种张量之间可用指标升降作转换。 ?简单性：方程形式尽可能简单，张量独立变量少尽可能（如2阶对称逆变、协变张量的独立分量比混变少）等

?一致性：满足指标一致原理，与相关方程一致（见下面实例），与直角坐标系下的张量方程形式一致(见4。1节例1、2)等。

?针对性：根据具体需要选择（若需了解沿坐标线方向的分量或变化率，采用逆变张量）。 2。特征张量的运用

转换中，利用某些张量在两种坐标系的对应关系可简化转换过程，常用的对应关系有

xi?yiei?gigieijk??ijk?ij?gijgij?ij?ijk 普通导数? 协变导数 （4.192）

此外，可利用一般坐标系下的代数运算规则和前面讨论的各种不变性微分算子进行转换。 3。举例

例：转动惯量张量

由第一章，在直角坐标系下，转动惯量张量分量式为

Iij?m??ijxkxk?xixj?

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（4.193）