北航张量讲义4

Aijggk?l??Aijggkmmk??ilAmj??jlAim??mlAijggkggkggm?yl（4.141）

张量的协变导数有如下性质与运算规律： ? n阶张量的协变导数是n＋1阶张量的分量 因为

gk?协变导数的求导顺序可交换

?T?Tij?kgkgigj k?y协变导数是张量，可再次求协变导数得2阶协变导数，每求一次导，张量的阶数加一。例如，逆变向量的2阶协变导数可记为

?v????vijki?jk（4.142）

j、k为求导标。在直角坐标系下有

?ui?uiu?jk?jk?kj?ui?kj（4.143）

?x?x?x?xi根据张量方程的不变性得

vi?jk?vi?kj（4.144）

?度量张量和置换张量的协变导数为零 例，在自然坐标系下，gij??ij?ijk?eijk，而

??ij?xk??eijk?ij?k?所以

?eijk?l???（4.145）

?ylgij?k???ijk?l??（4.146）

度量张量协变导数为零这一特性称为Ricci定理。根据这一特性，对张量式求协变导数时，可将度量张量提到求导号外。同样置换张量求导时也可作常量处理。

?协变导数的求导法则与普通导数相同

这是张量方程不变性的必然结果。例如，设?为常量，则

??Ab?gC?????Aijlikjgklnij?nbk?Abk?n?gliCij?jgkln?（4.147）

?协变导数可用度量张量对求导标进行升降运算 这是张量的基本特性，如

vi?k?gklvi?l（4.148）

75

求导标为上标的导数称为张量的逆变导数。有了逆变导数的概念，向量梯度可用任意类型张量分量表达

?v?vi?kgkgi?vi?kgkgi?vi?kgkgi?vi?kgkgi（4.149）

4.5.4 梯度、散度、旋度

1。梯度

由上一节知，梯度的一般形式为

?T?gk?T?yk?RT??Tkg（4.150） ?ykT为任意阶张量，而梯度的分量即为协变导数，所以0阶张量的梯度为

?????igi?向量的左梯度见（4.149）式，右梯度为

?Rv?vk?igkgi?vk?igkgi?vk?igkgi?vk?igkgi（4.152）

??ig（4.151） ?yi不难发现，逆变或协变左梯度与梯度互为转置，对于混变梯度，二者不等

?Rv???v?――逆变或协变 ?Rv???v?――混变（4.153）

TT由2阶张量的分解定理，协变梯度可分解为

?v?S??vj?i?Sij??ijS????v??Rv???Sij??vj?i?vi?j?????v??Rv??（4.154） ??ij??vj?i?vi?j????Sij为对称张量，?ij为反对称张量。我们知道物理上?ij表示转动，称转动张量。下面举例说明vj?i和Sij的物

理意义。

例：设vj表示变形固体的位移向量场（若为流体表示速度，即单位时间的位移），假定位移是微小量（如为流体，讨论微小时段的位移，仍为小量），试说明vj?i和Sij的物理意义，并写出柱坐标系下Sij的物理分量。

Q?v?dvQdr?dvdrP

vP?

解：设变形体内有无限近两点P，Q，变形后移至P?，Q?。P，Q的位移差为

76

dv??vidy?vj?idyigj?vk?idyigk（4.155） i?y所以，vj?i数量上表示位移差的大小，称为位移张量。如果位移后，两点的距离发生变化，说明产生了变形，因为刚体运动不会使两点距离发生改变。故可用两点距离的平方差来度量变形

dr??dr?dvdr?dyigi（4.156）

（提示：对称量与反对称量的缩并恒为零

即：若Aijk?AjikBij??Bji 则 AijkBij??（4.157）

B因 AijkBi?则j?AjBik?j?iAijAkijkBijij??）

??r?dr?gdr??drgdr??dvgdr?dvgdv??vj?idyidykgjggk?vk?ivj?ldyidyjgkggl（4.158） ??vj?idyidyj?vl?ivj?ldyidyj????由小位移假定，略去高阶小量，将（4.154）式代入，且考虑?ij的反对称性与dyidyj的对称性有

??r??vj?idyidyj??Sijdyidyj???ijdyidyj??Sijdyidyj（4.159）

由此可知，Sij反映变形大小，称为变形张量。

下面求柱坐标系y1－2的结果得

?,y2,y3?r??,?,?????????z下，Sij的物理分量，先求度量张量和第二类C符号。由例4

?????gij?giggj???r??????g?det(gij)?g11g22g33?r?（4.160）

说明柱坐标系是正交坐标系，满足正交条件

giggj?gij??ijgiigii?(?r??)（4.161）

即正交坐标系的度量矩阵为对角阵，显然逆变度量矩阵也为对角阵

giggj?gij??ijgii（4.162）

因为两者为互逆关系，即相乘为单位阵，故

gii????(??giir?)（4.163）

利用C符号与度量矩阵的关系可求出

22?12??21??r1?22??r 其余为零（4.163a）

77

??v1??r??vi?vvkvi?j?j??ijvk??2?2??r?yr??v3???r?v1v2???r?v2?rv1???v3???v1?z?v2?z?v3?z????（4.164） ????位移向量的物理分量为

v?i??vr?,v?,vz??vigii?v1g11?,v2g22,v3g33???v1??,v2r,v3??（4.165）

?变形张量的物理分量为

S?ij??Sijgiig??vr??r????????jj?jjvi?j?vj?i?giig?????vr?v?v????????r???rr??v?r???对 称

???vr?vz????????z?r???（4.166） ???v??vz????????zr??????vz???z?此例说明，为求张量的物理表达式，Sij，vi都需要转换。 2。散度

先求一般坐标系向量的散度表达式

j?ujej?ui?uj?vi?uiii?gv?i??j?ege?eg?egj?x?xi?xi?xi?xi（4.167）

?yki?v?v?v?iegk?gkgk?kggk?x?y?y?y可见向量的散度无左右之分，且散度的算子为

?g?gkg利用协变导数定义有

?? ?g?ggk（4.167a） Rkk?y?y?gv?vi?kgiggk?vi?k?jk?vi?i?gv?vi?kgiggk?vi?kgik?vi?i=vk?k（4.168）

所以，向量散度等于梯度的缩并，这与卡氏张量相同。由协变导数公式与（4.138）得

?vk??gvkkm?gv?v?k?k??mkv?（4.169）

?yg?ykk此为向量散度的常用计算式，在直角坐标系下，g＝1，上式变为常见形式。

类似地可导出2阶张量的散度

78