北航张量讲义4

?v?gv?:?v（4.110）

其中，散度是梯度的缩并，旋度是置换张量与梯度的双点积，所以关键是求梯度表达式。设一般坐标系下的坐标、向量分量和基向量为

yi,vi,vi,gi,gi

直角坐标系下的对应量为

xi,ui?ui,ei?ei

若将前者视为新坐标系下的量，后者视为老坐标系下的量，利用变换公式得

?xjgi?iej,?y?yijig?je,?x?yjui?ivj?x?xijiu?jv?y（4.111）

考虑上式和（3。16）式，向量的左梯度（混变）为

?uji?yki??v?ieej?ie?x?x?ykl?l?xj?k?vglk?vk?vve?g?g?e（4.112） j??l?yk?yk?xk??y?类似左梯度（协变）为

?vlglk?vk?v?v?iee?g?g?e（4.113）

?x?yk?yk?xkijk?uj可见向量算子

??gk必为协变向量。 同理可得右梯度表达式

??k（4.114） ?e?yk?xk?vlglk?ui?vkj?Rv?jeie?g?g（4.115）

?x?yk?yk?uiij?ulglk?vk?Rv?jee?g?g（4.116） kk?x?y?y所以右向量算子为

?R?仍是协变向量。

?kg（4.117） ?yk以上分析表明，梯度是向量组gk与向量组?v?yk的并积和，左梯度是左并积，右梯度是右并积。在?v?yk中，k是区别向量组不同向量的指标，称组指标。在（4.117）中，k又成为区别向量张量分量的张量标。所以，指标的特性与它所处的位置有关。当k一定时为?v?yk一向量，可按逆变基或协变基分解

71

?v?vi?kgi?vi?kgi（4.118） k?y式中，i是张量指标，vi?k与vi?k称为向量分量的协变导数，简称向量的协变导数。vi?k是协变分量的协变导数，vi?k是逆变分量的协变导数。协变导数的协变性是由指标k的协变性决定的。

在直角坐标系下，基向量是常量，协变导数与普通导数相同：

?ujej?ujj?v??ie?uj?iej（4.119） ii?x?x?x由（4.119）式得

?uj?x同理由

i?uj?i（4.121）

?uj?uj?i（4.122） i?x（4.118）（4.121）（4.122）式代入（4.113）得

?v?uj?ieiej?vj?igigj（4.123）

由此可知，vj?i为2阶张量?v的协变分量，i，j都张量指标。同理可得vj?j是?v的逆变分量。

4.5.2 C(Christoffel)符号

以上分析表明，梯度问题实际上是协变导数问题。现求协变导数，由向量求导法则，（4.118）变为

?vigi?gii?v?vi??g?v?vi?jgi（4.124） ijjjj?y?y?y?y?vigi?vii?gi?v??jg?jvi?vi?jgi（4.125） jj?y?y?y?y用gk点乘（4.124）gk点乘（4.125）得

?vk??gi?v?j?j??jggk?vi（4.126）

?y??y?k?vk??gi?vk?j?j??jggk?vi（4.127）

?y??y?令

k?ij??giggk（4.128） j?yk?ij称第二类C（Christoffel）符号，k是张量标，i、j是组指标（求导标）。由向量公式（4. 23）得

72

?gik??ijgk（4.128a） j?y又

?giggk?g?gk?giiikgg??gg??ggi???kj（4.129） kjjjj?y?y?y?y则有

?giik???kjg（4.130） j?y（4.128）（4.129）代入（4.126）（4.127）得

?vkkiv?j?j??ijv（4.131）

?ykvk?j??vki??kjvi（4.132） j?y所以协变导数问题又转化为C符号问题。C符号有下面特性

k? ?ij是向量组?gi?yj的逆变分量（见4.128a）），可由升降运算求协变分量

m?ijk?gkm?ij?gkm?gi?gimgg?ggk（4.133） ?yj?yj?ijk称第－类C（Christoffel）符号，i，j是组指标（求导标），k是张量标。反之有

m?ij?gmk?ijk（4.134）

?直线坐标系下等于零（因此时基向量为常量） ?不是3阶张量的分量

k?k??，不满足张量方程不变性。 因在直线坐标系下?ij＝0，曲线坐标系?ij?关于组指标（求导标）对称

?gi??jj?y?y???r??i??i??y??y??r??gj?j??i（4.135a） ??y??y由C符号的定义得

?ijk??jik?可用度量张量表示

利用对称性（4.135a）和向量求导法则得

kk?ij??ji（4.135）

73

?gj?gi?gk???gi????giggk?gjggk??gk???ijk?jggk??jggk?iggk?????gg?ggij???jj?y???y?y?yi?yi????y??y??（4.136）

?ggg?gjk??gjij??gi???g???gki?gjk?gij??????gki?gjk??ki??gg?gg??????ij????j?i?k?jik???yj?yi??yk?yk??y?y?y??y?y?????y??k?ij的关系可由（4.134）式得到。另一常用公式是与度量张量行列式g的关系。由（4.98）

?g?g???VG?g??????g?????ggg?g??gg?g?gg?g?ggg???????????j??j??yj?yj?yj?yj???y???y???=???则有

mmm???1jgmgg??g???2jg?ggm?g???3jg?gg??gm11j23g?gg??g???2jg?gg??g???3jg?gg??g??（4.137）

?mmm???mjg?gg??g???mjg??VG???mjm?mj???g（4.138）

g?yj4.5.3 张量的协变导数和逆变导数

向量的协变导数概念可推广到任意阶张量T。我们把导数组?T?yk在张量基上的分量称为协变导数，这里k为组指标。张量求导实际上是对张量的每个解析分量函数求导，结果仍为同阶张量（注：gk?T?yk是两个张量的并积和，阶数比?T?yk高一阶），故可将?T?yk向张量基分解，从而得到协变导数。例如，将0、1、2阶张量?、v、T向协变基分解得

?????k?yk?v?vi?kgik?y?T?Tij?kgigjk?y（4.139）

0阶张量没有基向量，协变导数恒等于普通导数。1阶以上的张量按不同的基分解可得不同的协变导数。下面我们以2阶混变张量为例，推导高阶协变张量的表达式，其它类型张量的协变导数可根据指标升降得到。根据协变导数的定义、基向量求导公式（4.128）（4.130）以及向量求导法则得

T?igjk?T??gig?k?kT?y?yj?igjgigj???Tigj?ykgig?T?T?yigjkjigj?gijg?T?ykmgjigj?gjgik?yigmm?jkgigj?T?yigjk

gigj?Tigjm?ikgmgj?Tigjj?mkgigm?gigj?Ti?mkgigj?T所以

Tigjk???Tigj?yki??mkTmgjm??jkTigm（4.140）

n阶张量协变导数公式的规律是：第一项是普通导数，其余n项由第二类C符号与张量分量的乘积构成，每一项依次用哑标置换原张量指标得到，置换上标时为正号，否则为负号，C符号的其余指标按指标一致原理确定。 例：试写出Aij的协变导数

74

ggk