北航张量讲义4

所以，不同类型张量分量间必存在联系，这种联系是通过度量张量来实现的（度量张量的定义见例4－5（4.84a）（4.84b）（4.85）），这是因为度量张量分量正好是联系协变基与逆变基的系数矩阵

gi?giggjgj?gijgj（4.89） gi?giggjgj?gijgj（4.90）

????将上式代入张量的并矢式（例如（4。88）式）可得同一坐标系不同类张量分量的关系式，例如，2阶协变与逆变的并矢式为

Aijgigj?Agkgl?Aijgikgjlgkgl

kl则有

Akl?Aijgikgjl?gkigljAij（4.91）

以上用了度量张量的对称性。类似地，容易证明

Aij?gikgjlAklAigj?gikAkjui?gijuj（4.91a）

由此可见，关系式中的指标分布规律仍为自由标平着走，哑标上下分，另外度量张量与某张量的点积的效果是 使该张量的哑标下降或上升变为该张量的自由标，自由标是度量张量的另一指标，因此，我们把这种运算称为度量张量的指标升降运算。

度量张量不仅有升降指标的作用，而且很多张量特征量都可用它表示，所以在张量理论中占有重要地位，下面讨论它的特性：

?度量张量是对称张量

?协变度量张量与逆变度量张量互为逆张量 据（4.89）（4.90）得

?ki?giggk?gijgjggk?gijgjk（4.92）

?ik?giggk?gijgjggk?gijgjk（4.93）

?度量张量的混变分量矩阵与直角坐标系分量矩阵是单位阵 由指标升降运算和性质?得

gijgigj?gijgjkgigk??kigigk?ggikggj??ggjijkjkk（4.94）

在直角坐标系下

gij?eigej??ijgij?eigej??ij（4.95）

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（4.85）式改写为

E=gijgigj?gijgigj??kigigk??kjgkgj??ijeiej（4.96）

表明度量张量是一般坐标系下的单位张量。 ?度量张量的行列式

g?det(gij)（4.97）

与基的混合积VG??g1,g2,g3?的为

??VG2?g>0（4.98）

此公式可由（1.42）式导出。在右手坐标系中可用g(=VG??)代替基的混合积。由性质?可得

%??g%?det(gij)（4.99） gg?基向量的模可表示为

gi?giggi?giigi?giggi?gii（4.100）

4.4.5、张量的物理分量

在曲线坐标系中，基向量可能为有量纲量纲，这使张量分量的物理意义与张量本身不符合，给分析和应用造成

困难。例如在柱坐标系中，粒子速度为

v=vigi（4.100a）

由例4－2，g2的量纲为长度, v2的量纲为时间的倒数，不是速度量纲。为得到有物理意义的分量，可用基向量的模将基向量无量纲化

v=vigiiv?i??vigiigi?v?i?g?i?（4.101） giig?i??gi（4.101a） giig?i?为无量纲单位向量，v?i?为向量的物理分量。物理分量虽具有物理意义，但不满足张量变换式，因为g?i?不满足张量变换式

g??i???ij?g?j?

给理论推导造成困难。所以，通常的做法是，用张量分量作理论分析，将结果化为物理分量。

类似地，对于2阶协变张量Tij，我们有

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T?ij??Tijgiigjjg?i??gigiig?j??gjjjg（4.101b）

照此方法，不难导出任意类型任意阶张量的物理分量表达式。

4.4.6、二阶张量

1、二阶张量的分解

2阶张量可分解为对称与反对称张量，例如，逆变张量可分解为

Aij??ij?A?Aji???Aij?Aji?（4.102） ???

2、二阶张量的的矩阵

二阶张量的四种分量对应的矩阵为（注：矩阵为常规体）

TijTijTijTi（4.103）

j由4.2.1节，张量坐标变换矩阵也有四个

A=B-1则张量的坐标变换式可用矩阵表示为

?=B-1Tij?B-1?TijT%=BTA%??B-1?T（4.104） BT?=BTTBijijT?ij=BTTij?BT??1T?i?B-1TiB（4.105）

jj可见，协变，逆变矩阵为合同矩阵，混变矩阵为相似矩阵。另外，两个混变矩阵间也是相似关系：由升降得张量分量的关系式

T令 G?gki则G－1?gljkl?gkigljTi?gkiTigjl（4.106）

jj上式的矩阵形式为

Tij?GTiG-1（4.107）

3、对称二阶张量的主轴和主值

注意到不同坐标系下的混变矩阵是相似矩阵，由矩阵论知，可通过求特征值与特征向量的方法将其对角化，即，对于实对称矩阵，存在一组标准正交基，在该组基下，张量只有对角分量，其值等于矩阵的特征值，标准正交基向量就是标准化的特征向量。我们称特征值为张量的主值，与特征向量重合的轴为主轴。主轴构成一个坐标系。当张量的分量与基向量均为常量时，主轴坐标系为全局直角坐标系，否则为局部直角坐标系。

对于协变和逆变张量，可通过指标的升降运算化为混变张量，该混变张量的主轴和主值定义为协变和逆变

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j张量的主轴和主值，由于两种混变张量间存在相似关系，具有相同的主轴和主值，可任选一个来求主轴和主值，求解方法与卡氏张量的方法相同。

4.4.7、张量分量方程的不变性

张量分量经张量运算（包括代数运算和微积分运算）所组成的等式称张量分量方程（以下简称张量方程）。例如

mnCnsBmgt（4.108） ggt?Ags张量方程是省略了张量基的指标方程，省略的基向量的个数等于各项中自由标的个数。根据张量代数的性质，方程的各项必由同型张量构成，且满足指标的一致性：各项自由标的个数、符号及上下分布须相同（前后分布可不同，表示进行了转置运算），哑标必须成对上下分布。张量方程的不变性是指：若张量方程在某一坐标系中成立，则必在任意坐标系中也成立。这是张量方程的重要特点。例如，对于（4.108）式，必有

?B?mgt（4.109） C?nsggt?A证：因为（4.108）式中各因子均为张量，故有

nsk??B?mgk ???in??js??tk?C?ijggk??i??j??tAmigjmngs必有

?B?mgk C?ijggk?A置换指标得

migj?B?mgt C?nsggt?A（4.109）成立。

利用这一特性，我们可在某一坐标系（常为直角坐标系）中用张量方程推导或证明物理方程，其结果可适用于任意坐标系。例如，度量张量gij在直角直角坐标系的分量为?ij，满足?ij??ji，由方程不变性原理，必有

mngsgij?gji，即度量张量是对称张量。

4.5张量分析

如前所述，本书中张量分析重点讨论张量场的微积分。本节的主要内容是把直角坐标系中微积分公式推广到一般坐标系。在曲线坐标系下，基向量是坐标的函数，从而需要引进协变导数的概念。

4.5.1、向量的协变导数

由上一章知，张量场微积分的核心内容是梯度、散度和旋度。用哈密顿算子，向量v的梯度、散度和旋度可表为

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