北航张量讲义4

4.4张量代数

非笛卡儿张量的很多特性与笛卡儿张量相同，但因协变张量、逆变张量和混变张量的变换规律不同，非笛卡儿张量的某些特性需要修正。本节重点讨论修正部分，其余简要说明。

4.4.1 代数运算

1．相等与加减

一般张量有各种不同的形式（协变、逆变、混变），如果两个张量的指标及其上下分布均相同，则称它们为同型张量。如Aij,Bij同型，Aij,Bij不同型。显然，只有同型张量分量才能相等与加减，如

Aij?BijCij?Aij?Bij

2、并积

一般张量的并积与卡氏张量类同，如

Cigj?aibj

为协变张量ai与逆变张量bj的并积，是2阶混变张量。

3、自缩并

缩并（包括自缩并与互缩并）只能在上下标间进行，否则不能保证结果为张量。如

???ik??jl?AklAij???ik??il?Akl缩并?Aii（4.71）

A?igj??ik??lj?Akgl缩并?A?igi??ik??li?Akgl??lkAkgl?Akgk（4.72）有

?不是标量不变量——零阶（4.72）式说明2阶张量缩并为标量不变量——零阶张量。而?ik??il???kl所以，Aii张量。正因为如此，为了保证张量特性，一般坐标系中规定哑标只能上下各取一个。

4、点积

点积是并积加互缩并的复合运算，所以点积也只能在上下标间进行，以保证结果的张量特性。如 单点：

agb?ai bj?aibi（4.72）

上式也可由向量点积的定义推得

agb?aigigbjgj?aibjgiggj?aibj?ji?aibi?aibi（4.73）

这里可看到，为了保证张量方程不变性，引入协变、逆变两组基的必要性。又

Bga?Bigjajgi?Bijajgi?Bigjaj?Bijaj或（4.74）

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可见，一般张量中，同一实体式可对应不同指标式(注：后两个等式是省略基向量的分量写法)。

双点：

A?B?AijBij?AijBij（4.75）

5、一阶张量（向量）的叉积

面积计算常用到向量的叉积。向量叉积可从几何上定义，它与坐标系无关。我们希望叉积的张量表达式也与坐标系无关。首先讨论基向量的叉积，根据Eddington张量张量的定义式（4.69）

gi?gj所以有

gl??gi,gj,gl???ijl??ijk?kl??ijkgk??gl（4.76）

gi?gj??ijkgk（4.77）

类似有

gi?gj??ijkgk（4.78）

则向量的叉积可表示为

g1g2a?b?aigi?bjgj??ijkaibjgk?VGeijkaibjgk?VGa1b1在笛卡儿直角坐标系中，VG??,g3a3（4.79） b3a2b2gk?ek，所以，上式是叉积的一般表达式。同理叉积也可表示为

g2a2b2g3a3（4.80） b3g1?ijk?a?b??ijkaibjgk?eaibjgk?a1VGVGb16、一阶张量（向量）的混合积

体积计算常用到向量的混合积。一般坐标系下的混合积表达式推导如下

a1a2?a,b,c???aigi,bjgj,ckgk???gi,gj,gk?aibjck??ijkaibjck?VGeijkaibjck?VGb1??????c1（4.81）

类似有

a3b3c3b2c2 64

?a,b,c???ijkaibjck??eijkaibjck??b1??VGVGc17、张量的转置

a1a2b2c2a3b3（4.82） c3一般张量的指标有前后与上下之分，张量的转置是变换张量分量指标前后顺序的运算。张量分量表示法是

i省略了基张量的简化写法。在默认情况下，分量指标的前后顺序与基张量相同，上下分布与基张量对称。如Tgjij是Tgjgig省略写法。张量的类型是由基张量决定的，即基张量相同的张量为同型张量。张量的转置是保持基

张量不变的情况下，变换张量分量指标前后顺序的运算，故转置后的张量一般为同型非等张量，转置并不改变张量的协变与逆变特性，如

jiAT?Ajigigj?Agigj?Ajgigj?Agiggj（4.83）

jigi此外，转置并不改变指标的循环顺序，上式中i仍为第一循环标。在任何情况下，如发现分量指标前后顺序与基张量不一致，说明发生了转置运算。

4.4.2 识别定理

一般张量的识别定理与卡氏张量类同： 例4－5 一般系下，（1.18）的弧长公式改为

dS2?gijdxidxj=gijdxidxj（4.83a）

dxi、dxi是向量ds的协变分量和逆变分量，即有

ds?dxigi=dxigi

度量矩阵gij，gij定义为

gij?gigij?gigj（4.84a） gj（4.84b）

因dxidxj与dxidxj是ds的并积为2阶张量，dS?为0阶张量，由识别定理gij和gij为2阶张量的协变分量和逆变分量，称为度量张量，记为

E=gijgigj?gijgigj（4.85）

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4.4.3、张量的对称性与反对称性

一般张量的对称性与反对称性与卡氏张量类同，即当转置张量与原张量相等时为对称向量张量，负转置张量与原张量相等时为反对称张量。如满足

Aij?AjiAij?AjiAigj?AjgiAigj?Ajgi（4.86）

的张量为2阶对称张量。满足

Aij??AjiAij??AjiAigj??AjgiAigj??Ajgi（4.87）

的张量为2阶反对称张量。对称混变张量可不写占位符

Aigj?Ajgi?Aij（4.87a）

又，度量张量E是对称张量，

?ijk与?ijk是关于任何两对指标反对称的反对称张量。

将（4.86）（4.87）式按矩阵写出，不难发现，2阶对称张量的协变和逆变矩阵为对称矩阵，各有6个独立分量，混变对称张量的矩阵为

?A1g???A2g???A3g???A??A?g???A?g???g?A1g?A2g?A3g?A?g?A1g???A1g???g??A2??A1g???g?A3??A1g?????A1????Ag???A1g????Ag???A1g???A?g?g?A2g?A2g?A2g?A2g?A3g???3?Ag??3Ag???A3??g??A3?g?A3??g?

A?g?A?g?A2g?A2g?可见为非对称矩阵，共有9个独立分量。2阶反对称张量的协变和逆变矩阵为反对称矩阵，各有三个独立分量，混变反对称张量的矩阵为非反对称矩阵，共有9个独立分量。所以，在允许的情况下，常用逆变或协变对称与反对称张量。

不难证明在阶数不变的情况下，基向量的变换不会改变张量的对称性和反对称性。 与卡式张量相同，对于反对称逆变和协变张量，必有反偶向量存在

????:????ijk?jkgi???ijk?jkgi??eijk?jk ei（4.87c）

?????????ijk，?ijk是Eddington张量的逆变和协变分量，最后一个等号是卡氏张量写法。

4.4.4、度量张量

张量不仅在不同坐标系下是不变量，在同一坐标系不同基张量下也是不变量。对于2阶张量，有

A?Aijgigj?Agigj?Aigjgigj?Aigigj（4.88）

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