北航张量讲义4

?zii?%A??j?j（4.38） ?y则（4.37）式可写为

?g?1???11?????g?2????12?????g?3???13?????21??2?2g???gii?jj?23???????g2?（4.39） ???3??g3??3????2?3?31???g1?%??i?逆变基的正变换系数。比较（4.32）A（4.38）式知：逆变基的正变换系数是协变基的逆变换系数的转置，j即

%??i??BT???j??T（4.40） Aji同理可得逆变基的逆变换公式

?g1???11?????g2????12?????g3???13????ij??21??22?g??g?iij?j?23???????g?2?（4.41） ???3?3???g?3????23??31???g?1?i?yTjT%???B?A???i??（4.42） ?zj%??i?为逆变基的逆变换系数，且有：逆变基的逆变换系数是协变基的正变换系数的转置。同样有：逆变基Bj的正逆变换系数矩阵互为逆矩阵

%%=BA%%=E（4.43） AB以上特性表明，为了确定基的变换，我们只需计算协变基的变换系数。 例4－4 试计算联系自然坐标系与柱坐标系的变换系数 解：据题意有

x1?y1x?zcosz112x2?y2x?zsinz212x3?y3x?z33（4.44）

根据自然基的定义和例4－2的结果有

?g1??????100????g1??e1????g2???g2???e2???010? ????????001??g3??g3??e3?????? 59

?g1???cosz????g2?????z1sinz2????g3???0???2sinz02z1cosz20??0??1??2?g?1??cosz???1?g?2????1sinz2???z?g?3??0????sinz21cosz21z01sinz21z1cosz21z00??0???1??0???0??1???0??0??1??

?cosz??ij??gi?ggj???z1sinz2??0??cosz2?12???sinz1?z?0??2sinz02z1cosz20??0??1??0??0???1???cosz2??j?j?i?gigg???sinz2??0???

sinz21cosz21z0?ji????ij??T?ji????ij??T?cosz2???sinz2??0??z1sinz2z1cosz204．2．2 一般张量及其变换

在一般坐标系下，用协变基或逆变基作张量基可得1阶一般张量，用协变和逆变基各自作并积或相互作并积可得不同的张量基和相应的张量。

? 1阶协变张量——用逆变基作张量基

u=uigi?uj?g?j （4.45）

ui，uj?为老新坐标系下的分量，称协变分量。将基向量的变换式代入可得分量的变换式

uj???ji?uiui??ij?uj?（4.46）

可见协变张量的变换与协变基的变换规律相同。（4.46）式也可看作是1阶协变张量的定义。

? 1阶逆变张量——用协变基作张量基

u=uigi?u?jgj?（4.47）

ui，u?j为老新坐标系下的分量，称逆变分量。将基向量的变换式代入可得分量的变换式

u?j??ij?uiui??ji?u?j（4.48）

可见逆变张量的变换与逆变基的变换规律相同。（4.48）式也可看作是1阶逆变张量的定义。

? 2阶协变张量——用逆变基的并积作张量基

l?klg?kg?（ T=Tijgigj?T4.49）

将基向量的变换式代入可得新老协变分量的变换式

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j???ki?? Tkll?Tijk?l??（4.50） Tij??Tklij?? 2阶逆变张量——用协变基的并积作张量基

? T=Tijgigj?Tkl?kg?l4.51） g（

T?kl??ik??jl?TijijklTij???T?（4.52） k?l?? 2阶混变张量——用协变基与逆变基的并积作张量基

ijl?k??（ T=Tg4.53） jgig?Tglgkgk?ji T?kgl??i?l?Tgjiil?TgT?kj??k?j?gl（4.54）

T=Tl? T?k??ki??jTglgji?gigj?TkTglk?lg?4.55） （ggjigjik?j???T?il?k（4.56）

gl小圆点是占位符。指标分布的规律是：自由标平着走，哑标上下分，逆变量是上标，协变量是下标。 类似地，可写出任意阶张量的表达式。

4. 2. 3一般相对张量

首先讨论新老基混合积间的关系，仿(1.63)式的证明可得

?g1,g2,g3??det?,g2?,g3???detVG???g1（?ij?）（?ij?）VG（4.57）

?????yjdet（?）?det（i）?Jzy（4.58）

?zji?表示z到y的Jacobi行列式，所以有

VG??JzyVG（4.59）

因为逆变基的混合积满足（4.16）式，所以决定新老基混合积间的关系的独立参数是VG，可用来定义一般相对张量。以2阶协变相对张量为例，仿卡氏相对张量的定义有

T?TijVG?gigj??klTklg?g?（4.60） ??VG将基向量的变换式代入，并考虑（4.59）式可得新老协变分量的变换式

???Jzy??ki??lj?Tij TklwTij??Jzy??w?ik??jl?Tkl?（4.61）

?＝?1、?2、?称为T的权。

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例4－4 证明置换符号

eijk=eijk????????????偶排列奇排列重复排列（4.62）

为相对张量。 证：由混合积的性质得

eijk=?gi,gj,gk?VG?VG?gi,gj,gk?（4.63）

????上式代入了（4.16）式。由此有

j?k??lj?k?lmne?ijk?VG??g?i,g?j,g?k??JzyVG?li??m?g,gm,gn??Jzy?li??m?ne（4.64） n????所以eijk为权为1的3阶相对张量，满足不变式

eijke?lmn?gn?（4.65） gigjgk?gl?gmVGVG?又，eijk可表为

eijk=?gi,gj,gk?VG（4.66）

??类似地，可导出

n???Jzy??il??jmeijk??k?elmn（4.67）

??和

?g?lg?mg?n（4.68） VGeijkgigjgk?VG?elmn可见eijk为权为－1的3阶相对张量。

4.3 置换张量（Eddington张量）

（4.65）（4.68）式说明，如定义

?ijk?eijkVG??gi,gj,gk?（4.69）

???ijk?VGeijk??gi,gj,gk?（4.70） ??则?ijk和?ijk均为绝对张量，称为Eddington张量。下面将看到，Eddington张量可用来表示张量的叉积和混合

积。

事实上，任何相对张量都可定义一个相应的绝对张量，这正是研究相对张量的意义所在。

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