2017-2018学年高中数学(苏教版)选修1-1讲学案：第二章 2.3 双曲线

2.3双_曲_线 2．3.1 双曲线的标准方程

在平面直角坐标系中A(－3,0)，B(3,0)，C(0，－3)，D(0，3)．

问题1：若动点M满足|MA－MB|＝4，设M的坐标为(x，y)，则x，y满足什么关系？ x2y2

提示：－＝1.

45

问题2：若动点M满足|MC－MD|＝4，设M的坐标为(x，y)，则x，y满足什么关系？ y2x2

提示：－＝1.

45

双曲线的标准方程

标准方程 焦点坐标 a，b，c的关系

1．双曲线的标准方程与椭圆不同，左边是含x，y项的平方差，右边是1. 2．在双曲线中，a>0且b>0，但a与b的大小关系不确定． 3．在双曲线中a、b、c满足c2＝a2＋b2，与椭圆不同．

[对应学生用书P26]

焦点在x轴上 x2y2－＝1(a＞0，b＞0) a2b2(±c,0) c2＝a2＋b2 焦点在y轴上 y2x2－＝1(a＞0，b＞0) a2b2(0，±c)

[例1] 已知双曲线过点P(－2，－3)，Q?15?，2两点，求双曲线的标准方程．

?3?用待定系数法求双曲线方程 [思路点拨] 解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a、b、c的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式，将两点代入，简化运算过程．

x2y2

[精解详析] 法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)，

ab∵P(－2，－3)，Q?

15?，2两点在双曲线上． ?3?

?a

∴??15??3??2?

?a－b＝1，

22

2

22(－2)2

?－3?2－＝1，

b2

2

?解得?11

?b＝3，21

＝1，a2

即a2＝1，b2＝3，

y2

∴所求双曲线的标准方程为x－＝1.

3当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为 y2x2

－＝1(a>0，b>0)， a2b2∵P(－2，－3)，Q ?

15?，2两点在双曲线上， ?3?

?

?∴??

?2????a－22?－3?2?－2?2

－＝1，a2b215?2

3?

＝1.b2

?解得?1

?b＝－1，

2112＝－，a3

(不符合题意，舍去)．

y2

综上：所求双曲线的标准方程为x－＝1.

3

2

法二：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)， 因为双曲线过两点P(－2，－3)，Q?2

2

15?，2， ?3?

m?－2?＋n?－3?＝1，m＝1，????

得??15?2解得? 12

n＝－，m＋n?2?＝1，??3???3?

y2

所以所求双曲线的标准方程为x－＝1.

3

2

[一点通] 用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：

1．根据下列条件，求双曲线的标准方程．

x2y2

(1)已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(15，4)，求双曲线的方程；

2736(2)c＝6，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．

x2y2y2x2

解：(1)椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，故可设双曲线的方程为2－2＝

2736ab1.

a2＋b2＝9，??

由题意，知?42?15?2

??a2－b2＝1，y2x2

故双曲线的方程为－＝1.

45(2)∵焦点在x轴上，c＝6，

x2y2

∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)．

λ6－λ∵双曲线经过点(－5,2)，

254∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． λ6－λ

x22

∴所求双曲线方程是－y＝1.

5

2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝4，c＝5，焦点在y轴上；

(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)． 解：(1)由题设知，a＝4，c＝5， 由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝52－42＝9.

y2x2

因为双曲线的焦点在y轴上，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.

169

(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上．因为点A(－5,6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a，即2a＝|＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.

y2x2

因此，所求双曲线的标准方程是－＝1.

1620

?－5－0?2＋?6＋6?2－

?－5－0?2＋?6－6?2|＝|13－5|

2??a＝4，解得?2

??b＝5.

曲线方程的讨论 x2y2

[例2] 若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围．

5－mm2－2m－3[思路点拨] 由双曲线的焦点在y轴上，得关于m的不等式组，进而解不等式组求m的范围．

x2y2

[精解详析] 由方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，得

5－mm2－2m－3

??5－m<0，?2解得m>5. ?m－2m－3>0.?

所以实数m的取值范围是(5，＋∞)．

?m>0，x2y2

[一点通] 给出方程＋＝1(mn≠0)，当mn<0时，方程表示双曲线，当?时，

mn?n<0?m<0，

表示焦点在x轴上的双曲线；当?时，表示焦点在y轴上的双曲线．

?n>0

x2y2

3．k＞9是方程＋＝1表示双曲线的____________条件(填“充分不必要”“必要

9－kk－4不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．

x2y2

解析：＋＝1表示双曲线的充要条件是

9－kk－4(9－k)·(k－4)＜0，即k＞9或k＜4.

因为k＞9是k＞9或k＜4的充分不必要条件．

x2y2即k＞9是方程＋＝1表示双曲线的充分不必要条件．

9－kk－4答案：充分不必要

x2y2

4．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是________；

2－m|m|－3若该方程表示双曲线，则m的取值范围是________．

??2－m>0

解析：①若表示焦点在x轴上的双曲线，则??－3

??|m|－3<0

②若该方程表示双曲线，则 (2－m)(|m|－3)<0.