角平分线定理使用中的几种辅助线作法

角平分线定理使用中的几种辅助线作法

? 角平分线性质定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； ? 角平分线判定定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

当题目的已知中出现角平分线的时候，我们立刻想到它的作用有两种： 1、把已知角平分两个相等的小角；

2、角平分线性质定理，若此时作角的两边的垂线，则两条垂线段相等。 一、已知角平分线，构造三角形（利用垂线，构造等腰三角形）

例1 如图所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。

求证：BE?1(AC?AB) 2A12例1证明：延长BE交AC于点F。

因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线， 所以AD为∠BAC的对称轴， 又因为BE⊥AD于F，

所以点B和点F关于AD对称， 所以BE=FE=

BFEDC1BF，AB=AF，∠ABF=∠AFB。 2因为∠ABF＋∠FBC=∠ABC=3∠C，

∠ABF=∠AFB=∠FBC＋∠C， 所以∠FBC＋∠C＋∠FBC=3∠C， 所以∠FBC=∠C，所以FB=FC，

111FC=（AC－AF）=（AC－AB）， 2221所以BE?(AC?AB)。

2所以BE=

例2、如图，已知：ΔABC中AD垂直于∠C的平分线于D，DE∥BC交AB于E. 求证：EA=EB。

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例2分析：由AD垂直于∠C的平分线于D，可以想到等腰三角形 中的三线合一，于是延长AD交BC与点F，得D是AF的 中点，又因为DE∥BC，由三角形中位线定理得EA=EB。 证明：延长AD交BC与点F， ∵CD平分∠ACF， ∴∠1=∠2，又AD⊥CD， ∴ΔADC≌ΔFDC，

B ∴AD=FD， 又∵DE∥BC， ∴EA=EB。

二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段

例3 如图所示，∠1=∠2，P为BN上的一点，并且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD。 求证：∠BAP＋∠BCP=180°。

例3 证明：经过点P作PE⊥AB于点E。

EA E D

1 2 F

C

因为PE⊥AB，PD⊥BC，∠1=∠2， 所以PE=PD。

在Rt△PBE和Rt△PBC中

BAPNDC?BP?BP ??PE?PD所以Rt△PBE≌Rt△PBC（HL）， 所以BE=BD。

因为AB＋BC=2BD，BC=CD＋BD，AB=BE－AE， 所以AE=CD。

因为PE⊥AB，PD⊥BC， 所以∠PEB=∠PDB=90°. 在△PAE和Rt△PCD中

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?PE?PD???PEB??PDC ?AE?DC?所以△PAE≌Rt△PCD， 所以∠PCB=∠EAP。 因为∠BAP＋∠EAP=180°， 所以∠BAP＋∠BCP=180°。

例4如图，已知：∠A=90o，AD∥BC，P是AB的中点，PD平分∠ADC， CP平分∠DCB。

例4分析：因为已知PD平分∠ADC，所以我们过P点作PE⊥CD， 垂足为E，则PA=PE，由P是AB的中点，得PB=PE，即CP平分∠DCB。 证明：作PE⊥CD，垂足为E，

A ∴∠3=∠A=90o， ∵PD平分∠ADC， ∴PA=PE， 又∵∠B=∠3=90o， ∴PB=PE，

∴点P在∠DCB的平分线上， ∴CP平分∠DCB。

三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段

例5、如图所示，在△ABC中，PB、PC分别是∠ABC的外角的平分线，求证：∠1=∠2. 例5证明：过点P作PE⊥AB于点E，PG⊥AC于点G，PF⊥BC于点F． 因为P在∠EBC的平分线上，PE⊥AB，PH⊥BC， 所以PE=PF。同理可证PF=PG。所以PG=PE，

1A22 求证：

D

1

4 3

P E

B C

又PE⊥AB，PG⊥AC， 所以PA是∠BAC的平分线， 所以∠1=∠2。

EPBFC- 3 - G