第二章 随机变量及其分布

答案 1?e?1?0.632 1第八节 随机变量函数的分布

三、选择

1.设随机变量X的概率密度为

?2e?2x,f(x)???0,x?0x?0

则随机变量y?2X的概率密度为（ D ）

?2e?y,（A） fY(y)???0,y?0?2e?2y, （B） fY(y)??y?0?0,y?0y?0

?e?2y,（C） fY(y)???0,?e?y, （D） fY(y)??y?0?0,y?0y?0y?0

2. 设随机变量X的概率密度为

?2e?2x,fX(x)???0,x?0x?0

则随机变量y??2X的概率密度为（ C ）

?ey,（A） fY(y)???0,?0,（C） fY(y)??y?e,?e?y, （B） fY(y)??y?0?0,y?0y?0?0, （D） fY(y)???yy?0?e,y?0y?0

y?0y?0

二、简答题

1.设随机变量X服从二项分布B(3,0.4)，求下列随机变量函数的概率分布： （1）Y?2X?1 （2）Y?X2?X (3)Y?答案 (1) Y p (2) Y p (3) Y p 0 0.216 1 0.432 3 0.288 6 0.064 0 0.648 2 0.288 6 0.064 -1 0.216 1 0.432 3 0.288 5 0.064 X(X?1)2

2.设随机变量X的概率密度

9

?2x,f(x)???0,0?x?1其它

求下列随机变量的概率密度

（1）Y?1?2X （2）Y?1?2X (3)Y?X2

答案

?y?1,?（1）fy(y)??2?0,?1?y?3其它0?y?1其它?1?y,? （2）fy(y)??2?0,??1?y?1其它

（3）fY(y)???1,?0,

3.设随机变量X在区间?0,2?上服从均匀分布，求随机变量函数Y?X3的概率密度。

?1?2?y3,答案 fY(y)??6?0,?0?y?8其它

4. 设随机变量X在服从指数分布e(?)，其中??0，求随机变量函数Y?eX的概率密度。 ??y?(??1,) 答案 fY(y)??0,?y?1y?1

5. 设随机变量X的概率密度为

fX(x)?1,???x???，

?(1?x)2求：随机变量Y?1?答案 fY(y)?3X的概率密度fY(y)。

263(1?y)????1?(1?y)?,???y???

6.设随机变量X在区间?1,2?上服从均匀分布，求随机变量函数Y?e?1,?答案 fY(y)??2y?0,?242X的概率密度。

e?y?e其它

第九节 二维随机变量的联合分布

四、选择题

10

?e?(x?y),⒈ 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)???0,x?0,y?0;其他.

则P(X?Y)? ( A )

（A）0.5 （B）0.55 （C） 0.45 （D）0.6

⒉ 二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)以下哪个随机事件的的概率？( B )

（A）?X?x???Y?y? （B）?X?x???Y?y? （C） X?x?y （D）X?x?y

二、填空

1. 下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部 分数值，试将其余值填入表中的空白处 Y X y1 1241816y2 183812y3 1121413P{X?xi}?pi? 1434x1 x2 P{Y?yi}?p?j 1 2.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为

F(x,y)?A(B?arctan1x2)(C?arctany3)

则系数A=

?2，B=

?2，C=

?2， (X,Y)的联合概率密度为

f(x,y)? 。 222?(x?4)(y?9)6⒊ 已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，R为一平面区域，则(X,Y)的联合分布函数F(x,y)=?x???y??f(x,y)dydx ，P??X,Y??R??

??Rf(x,y)dxdy，曲面

z?f(x,y)叫做 分布曲面 ，F(??,??)? 1 ，F(x,??)? 0 ，F(??,y)?

0 ，F(??,??)? 0 。

11

三、计算题。

1. 已知随机变量X1和X2的概率分布

X1?101X201P111424P11 22而且P{X1X2?0}?1.求X1和X2的联合分布。 解：

X1?101X2

011

40410120⒉ 设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)???e?y,0?x?y?0,其他（1）求P{X?Y?1}；（2）求联合分布函数F(x,y)。

1解（1）P{X?Y?1}???f(x,y)dxdy??21?x?y－1?120dx?xedy?1?e－2ex?y?1?1?e?x?xe?y,0?x?y（2）F(x,y)???1-(y?1)e-y ,0?y?x

??0,其他⒊ 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

??Ae?(x?2y)f(x,y)?,x?0,y?0;?0,其他.

试求（1）常数A ； (2) 概率P(0?X?1,0?Y?2). 解：（1）由于???y)?????f(x,???1，

故???????(x?2y)

00Aedxdy?A2?1，所以A?2 （2）P(0?X?1,0?Y?2)??10dx?2(x?2y)12e?dy?(1?e?1)(1?e?4)

第十节 二维随机变量的边缘分布

五、选择题

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