第二章 随机变量及其分布

第二章 随机变量及其分布

第二节 离散随机变量

一、选择

1 设离散随机变量

且b?0，则?为((A)??0的任意实数(C)??11?b??X的分布律为: P{X?k}?b?,(k?1,2,3,?),k

)

(B)??b?1(D)??1b?1Sn(1??)???b??b·1??k?1knn

解因为?P{Xk?1n???k}??b?k?1nk?1即所以limSn?limb·?n??(1??)1???1于是可知,当??1时,b·?1

1??所以应选(C).???11?b?1,(因b?0)二、填空

1 如果随机变量X的分布律如下所示,则C? .

X

P

30 1 2 3

1C

12C

13C

14C

解根据?P(xx1?0)?1i得：C?2512.

4512 进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为, 失败的概率为, 将试验进行

5到出现一次成功为止, 以X表示所需试验次数, 则X的分布律是__ ___ ____.(此时称X服从参数为p的几何分布).

解:X的可能取值为1，2，3 ，?X?K???第1~K?1次失败,第K次成功?. 所以X的分布律为P?X?K??()51K?1?45 , K?1,2,?

三、简答

1 一个袋子中有5个球,编号为1,2,3,4,5, 在其中同时取3只, 以X表示取出的3个球中的最大号码, 试求X的概率分布.

1

解X的可能取值为3,4,5.3只球号码分布为1,2,3,只有一种取法，所以事件{X?3},只能是取出的P{X?3}?1C53?1104，另外2个号码可在1，2，3中任取事件{X?4},意味着3只球中最大号码是2只，共有C3种取法，故C3232P{X?4}?C5?3105，另外2个号码可在1，2，3,4中任取

事件{X?5},意味着3只球中最大号码是2只，共有C2?6种取法，故C4C5232P{X?5}??35从而，X的概率分布是 X 3 4 5 P

110

310

35

2 一汽车沿一街道行驶, 需要通过三个均设有绿路灯信号的路口, 每个信号灯为红和绿与其他信号为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显示时间相等, 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数, 求X的概率分布.

解由题设知X的可能值为0,1,2,3,设Ai(i?1,2,3)表示\汽车在第P(Ai)?P(Ai)?12,于是122i个路口首次遇到红灯\，A1,A2,A3相互独立，且P{X?0}?P(A1)?12P{X?1}?P(A1A2)?P(A1)P(A2)?1223

P{X?2}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P{X?3}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?故分布律为13

X 0 1 2 3 P

12

122

123

123

第三节 超几何分布 二项分布 泊松分布

一、选择

1 甲在三次射击中至少命中一次的概率为0.936, 则甲在一次射击中命中的概率p=______.

2

(A) 0.3 (B) 0.4 (C) 0.5 (D) 0.6 解: D

设X?”三次射击中命中目标的次数”,则X~B(3,p), 已知P(X?1)?1?P(X?0)?1?(1?p)3?0.936， 解之得(1?p)3?0.064?1?p?0.4?p?0.6

2 设随机变量X~b(2,p),Y~b(3,p), 若P?X?1??59,则P?Y?1??______.

79(A)34

(B)1729 (C)1927 (D)

解: C

二、填空

1设离散随机变量X服从泊松分布,并且已知P?X?1??P?X?2?,

则P?X?4?＝______.

解:

23e?2

三、简答

1.某地区的月降水量X（单位：mm）服从正态分布N(40,42),试求该地区连续10个月降水量都不超过50mm的概率.

解：设A＝“某月降水量不超过P（A）＝P（x?50)?P（观察10个月该地区降水量是否设Y＝“该地区降水量不超P（Y＝10）＝0.99381050mm”4?50?404)??(2.5)?0.9938x?40超过50mm，相当做10天贝努利试验过50mm的月数”，则

Y～B（10，0.9938）＝0.9396

2 某地区一个月内发生交通事故的次数X服从参数为?的泊松分布,即X~P(?),据统计资料知,一个月内发生8次交通事故的概率是发生10次交通事故的概率的2.5倍.

(1) 求1个月内发生8次、10次交通事故的概率； （2）求1个月内至少发生1次交通事故的概率；

3

（3）求1个月内至少发生2次交通事故的概率；

k??解这是泊松分布的应用问题X~P(?),P{X?k}??ek!,k?0,1,2,?.这里?是未知的,关键是求出?.据题意有P{X?8}?2.5P{X?10}即?8e????8!?2.5??10e10!解出?2?36,??668e?610?6(1)P{X?8}?8!?0.1033P{X?10}?6e10!?0.0413(2)P{X?0}?e??e?10?0.00248P{X?1}?1?P{X?0}?1?0.00248?0.9975(3)P{X?1}?6e?6?0.01487P{X?2}?1?P{X?0}?P{X?1}?0.00248?0.01?0.983

第五节 随机变量的分布函数

一、 填空题 1

???101设离散随机变量X~?111??, 则X的分布函数为 . ?362??解当x??1时，F(x)?P{X?x}?0;当?1?x?0时，F(x)?P{X?x}?13当0?x?1时，F(x)?P{X?x}?13?16?12;当x?1时，F(x)?P{X?x}?1113?6?2?1整理，得

?0,当x??1??1,当?1?x?0F(x)???3?1?当0?x?1?2,?1,当x?1二、选择

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