2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练：第二章 阶段强化练(一)

又x·[f(x)－f(－x)]<0，即x与f(x)的符号相反， 由x>0可得x∈(0,3)； 由x<0可得x∈(－3,0)，

所以x·[f(x)－f(－x)]<0的解集是{x|－3

12．(2019·惠州调研)已知f(x)是定义在R上的奇函数， 且f(2－x)＝f(x), 若f(1)＝3，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)等于( ) A．－3 B．0 C．3 D．2 018 答案 C

解析 ∵f(x)为R上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0， 又由f(2－x)＝f(x)，

∴f(x)＝－f(x－2)＝－[－f(x－4)]＝f(x－4)， ∴f(x)是周期为4的函数，

又f(1)＝3，f(2)＝f(2－2)＝f(0)＝0， ∴f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－f(1)＝－3，

f(4)＝f(0)＝0，

∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，

f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝f(1)＋f(2)＝3.

故选C. 二、填空题

??2－2，x≤0，13．(2019·四川诊断)已知函数f(x)＝?

?f?x－2?＋1，x>0，?

－x

则f(2 019)＝________.

答案 1 010

解析 当x>0时，f(x)＝f(x－2)＋1， 则f(2 019)＝f(2 017)＋1＝f(2 015)＋2＝… ＝f(1)＋1 009＝f(－1)＋1 010, 而f(－1)＝0， 故f(2 019)＝1 010.

14．(2019·广东六校联考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x＋2x－3，则f(x)的解析式为________________．

2

x＋2x－3，x>0，??

答案 f(x)＝?0，x＝0，

??－x2＋2x＋3，x<0

2

解析 令x＜0，则－x＞0，∵f(－x)＝－f(x)，

5

∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)＋2(－x)－3] ＝－x＋2x＋3， 又当x＝0时，f(0)＝0，

2

2

x＋2x－3，x>0，??

∴f(x)＝?0，x＝0，

??－x2＋2x＋3，x<0.

2

15．(2019·青岛调研)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，

f(x)＝ex－1，则f(2 018)＋f(－2 019)＝________.

答案 e－1

解析 ∵f(x)是R上的偶函数， ∴f(－2 019)＝f(2 019)，

f(x＋2)＝f(x)，

∴f(x)的周期为2，

又x∈[0,1]时，f(x)＝e－1； ∴f(2 018)＝f(0)＝0，

xf(－2 019)＝f(2 019)＝f(1)＝e－1.

∴f(－2 019)＋f(2 018)＝e－1.

16．(2019·云南曲靖一中质检)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝

?x＋3，x∈[0，1?，?

?2??3－x，x∈[－1，0?，

2

且f(x＋2)＝f(x)，g(x)＝

3x＋7

，则方程f(x)＝g(x)在区间[－x＋2

5,1]上的所有实根之和为________． 答案 －7

解析 ∵f(x＋2)＝f(x)， ∴函数f(x)的周期为2. 3x＋7

又g(x)＝

x＋2＝3＋

1

， x＋2

∴函数g(x)图象的对称中心为(－2,3)． 在同一个坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象， 如图所示．

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由图象可得两函数的图象交于A，B，C三点， 且点A，C关于点(－2,3)对称， ∴点A，C的横坐标之和为－4. 又由图象可得点B的横坐标为－3，

∴方程f(x)＝g(x)在区间[－5,1]上的所有实根之和为－4－3＝－7. 三、解答题

10＋m·10

17．(2019·云南曲靖一中质检)已知函数f(x)＝x－x为R上的奇函数．

10＋10(1)求m的值；

(2)求使不等式f(1－a)＋f(1－2a)>0成立的a的取值范围． 解 (1)由题意知f(x)为奇函数， 1＋m∴f(0)＝＝0，即1＋m＝0，m＝－1.

2经检验，m＝－1符合题意．

10－1010－12

(2)由(1)知f(x)＝x＝1－2x， －x＝2x10＋1010＋110＋1∴函数f(x)在R上为增函数． ∵f(1－a)＋f(1－2a)>0， ∴f(1－a)>－f(1－2a)， 又f(x)为奇函数， ∴f(1－a)>f(2a－1)， ∴ 1－a>2a－1， 2

解得a<.

3

2??∴实数a的取值范围为?－∞，?. 3??

18．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋ f(y)＝f(x＋y)，且x>0时，f(x)<0. (1)求证：f(x)在R上是奇函数； (2)求证：f(x)在R上是减函数；

x－x2xx－x7

2

(3)若f(1)＝－，求f(x)在区间[－3,3] 上的最大值和最小值．

3(1)证明 ∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)， 令x＝y＝0得f(0)＝0， 令y＝－x得f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)在R上是奇函数． (2)证明 在R上任取x1>x2，

则x1－x2>0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2) ＝f(x1－x2)，

∵x>0时，f(x)<0，∴f(x1－x2)<0， ∴f(x1)

∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)和f(3)， 而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2， ∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.

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