微观经济学原理课后习题及答案-第三章 消费者选择

8. 设某消费者的效用函数为柯布-道格拉斯类型的，即U?x?y?，商品x和商品y的价格分别为Px和Py，消费者的收入为M，?和?为常数，且????1。

（1）求该消费者关于商品x和商品y的需求函数。

（2）证明当商品x和商品y的价格以及消费者的收入均以相同的比例变化时，消费者对两商品的需求量维持不变。

（3）证明消费者效用函数中的参数?和?分别为商品x和商品y的消费支出占消费者收入的份额。

?U??x??1y??x解：（1）由消费者的效用函数U?x?y?，解得：

?UMUy???x?y??1?yMUx?消费者的预算约束方程为PXx?Pyy?M

?MUxPX?MUy?P根据消费者效用最大化的均衡条件?，代入已知条件，解y?Px?Py?My?x方程组得消费者关于商品x和商品y的需求函数分别为：

x=?MaM , y=

PyPX（2）商品x和商品y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例，相当于消费者的预算线变为?Pxx??Pyy??M，其中?为一非零常数。

?MUxPX?MUy?P此时消费者效用最大化的均衡条件为?，由于??0，y??Px??Py??My?x?MUxPX?MUy?P故该方程组化为?，显然，当商品x和商品y的价格以及y?Px?Py?My?x消费者的收入同时变动一个比例时，消费者对两商品的需求关系维持不变。

PyyPxx（3）由消费者的需求函数可得：??，??，式中参数?MM为商

品x的消费支出占消费者收入的份额和参数?为商品y的消费支出占消费者收入的份额。

9.已知某消费者关于商品1和商品2的效用函数为U＝X1X2，商品1和商品2的价格分别为P1＝4，P2＝2，消费者的收入为M＝80。现在假定商品1的价格下降为P1＝2。

(1)由商品1的价格P1下降所导致的总效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化？

(2)由商品1的价格P1下降所导致的替代效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化？

(3)由商品1的价格P1下降所导致的收入效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化？

解答：利用图解答此题。在图3-6中，当P1＝4，P2＝2时，消费者的预算线为AB，效用最大化的均衡点为a。当P1＝2，P2＝2时，消费者的预算线为AB′，效用最大化的均衡点为b。

图3—6

?MU1MU2??P2（1）先考虑均衡点a。根据效用最大化的均衡条件?P1?PX?PX?M?1122

最优效用水平为 U1＝X1X2＝10×20＝200

再考虑均衡点b。当商品1的价格下降为P1＝2时，与上面

?X2X1??同理，根据效用最大化的均衡条件得：?22??2X1?2X2?80?X2X1?得：?2?4??4X1?2X2?80 解得: X2＝20 ,X1＝10

解得:

X2=X1＝20

从a点到b点商品1的数量变化为ΔX1＝20－10＝10，这就是P1变化引起的商品1消费量变化的总效应。

(2)为了分析替代效应，作一条平行于预算线AB′且相切于无差异曲线U1的补偿预算线FG，切点为c点。

在均衡点c，总效用保持不变，同时满足边际效用均等法则，X1，

?MU1MU2??P2X2满足?P1?TU?XX?200?12

?X1X2? 即 ? 22???TU?X1X2?200解得X1＝X2。将X1＝X2代入效用约束等式U1＝X1X2＝200，解得X1＝X2＝10√2≈14，

从a点到c点的商品1的数量变化为ΔX1＝10√2－10≈4，这就是P1变化引起的商品1消费量变化的替代效应。

(3)至此可得，从c点到b点的商品1的数量变化为ΔX1＝20－10√2≈6，这就是P1变化引起的商品1消费量变化的收入效应。

10.某消费者消费两种商品 X 和Y, 假定无差异曲线在各点的斜率的绝对值均为，x、y 为商品X和Y的数量。

(1)说明每一种商品的需求数量均不取决于另一种商品的价格。

(2)证明每一种商品的需求的价格弹性均等于1。 (3)证明每一种商品的需求的收入弹性均等于1。

(4)每一种商品的恩格尔曲线的形状如何?

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