2018版高中数学平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义导学案新人教A版必修4 含解析

类型三 向量加法的实际应用

例3 在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.

解 作出图形，如图所示.船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，

四边形ABCD为平行四边形， 在Rt△ACD中，

→→

|CD|＝|AB|＝|v水|＝10 m/min， →

|AD|＝|v船|＝20 m/min， →

|CD|101

∴cos α＝＝＝，

→202|AD|

∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角. ∴船是沿与水流的方向成120°的角的方向行进. 引申探究

1.若本例中条件不变，则经过1 h，该船的实际航程是多少？ 解 由例3知v船＝20 m/min，v实际＝20×sin 60°＝103(m/min)， 33

故该船1 h行驶的航程为103×60＝6003(m)＝(km).

5

2.若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值.

→

解 如图，作平行四边形ABDC，则AD＝v实际，设船实际航向与岸方向的夹角为α，则tan α→

|BD|20＝＝＝2. →10|AB|

即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.

反思与感悟 向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图象是解题

关键.

跟踪训练3 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)

→→→→→→

解 如图所示，设CE，CF分别表示A，B所受的力，10 N的重力用CG表示，则CE＋CF＝CG.

易得∠ECG＝180°－150°＝30°， ∠FCG＝180°－120°＝60°. →→

∴|CE|＝|CG|cos 30° ＝10×

3

＝53(N)， 2

→→

|CF|＝|CG|cos 60° 1

＝10×＝5(N).

2

∴A处所受的力为53 N，B处所受的力为5 N.

→→→

1.如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF等于( )

A.0 →C.AD 答案 D

→→→→→→→→→解析 BA＋CD＋EF＝DE＋CD＋EF＝CE＋EF＝CF.

→B.BE →D.CF

2.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中错误的是( )

A.→FD＋→DA＋→DE＝0 B.→AD＋→BE＋→CF＝0 C.→FD＋→DE＋→AD＝→AB D.→AD＋→EC＋→FD＝→BD 答案 D

解析 →FD＋→DA＋→DE＝→FA＋→

DE＝0， →AD＋→BE＋→CF＝→AD＋→DF＋→

FA＝0， →FD＋→DE＋→AD＝→FE＋→AD＝→AD＋→DB＝→AB， →AD＋→EC＋→FD＝→AD＋0＝→AD＝→DB≠→BD. 故选D.

3.(→AB＋→MB)＋(→BO＋→BC)＋→

OM等于( ) A.→BC B.→AB C.→AC D.→AM

答案 C

4.如图所示，在四边形ABCD中，→AC＝→AB＋→

AD，则四边形为(

A.矩形 B.正方形 C.平行四边形 D.菱形 答案 C

解析 ∵→AC＝→AB＋→

AD，

∴→DC＝→DA＋→AC＝→DA＋→AB＋→AD＝→DA＋→AD＋→AB＝→AB， 即→DC＝→AB.

)

∴四边形ABCD为平行四边形.

5.小船以103 km/h的静水速度沿垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船的实际航行速度的大小为________km/h. 答案 20

解析 如图，设船在静水中的速度为|v1|＝103 km/h，河水的流速为|v2|＝10 km/h，小船的实际航行速度为v0，则由|v1|＋|v2|＝|v0|，得(103)＋10＝|v0|，所以|v0|＝20 km/h，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.

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1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则.

2.向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行.

3.使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”.和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点.向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.

课时作业

一、选择题

1.作用在同一物体上的两个力F1＝60 N，F2＝60 N，当它们的夹角为120°时，则这两个力的合力大小为( )

A.30 N B.60 N C.90 N D.120 N 答案 B

2.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是( )

→→→→A.AB＝CD，BC＝AD →→→→C.AO＋OD＝AC＋CD 答案 C

→→→B.AD＋OD＝DA →→→→D.AB＋BC＋CD＝DA