高考排列组合及二项式定理知识总结与例题讲解（5分）

1、设f(x)=(x-1), 偶次项系数之和是

11

f(1)?f(?1)?(?2)11/2??1024

2122nn2、C0n?3Cn?3Cn???3Cn? 2、

2、4 3、(35?n

120)的展开式中的有理项是展开式的第 项 53、3,9,15,21

4、(2x-1)展开式中各项系数绝对值之和是

5

4、(2x-1)展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)展开式系数之和，故令x=1，则

5

所求和为3 55

5、求(1+x+x)(1-x)展开式中x的系数 2104

5、必须第一个因式中的1与(1-x)(1?x?x2)(1?x)10?(1?x3)(1?x)9,要得到含x的项，

43

9

9

4展开式中的项C9(?x)4作积，第一个因式中的－x与(1-x)展开式中的项C19(?x)作积，故

4x的系数是C19?C9?135 4

6、求(1+x)+(1+x)+…+(1+x)展开式中x的系数 2103

(1?x)[1?(1?x)10](x?1)11?(x?1)36、(1?x)?(1?x)??=，原式中x（1?x）?x1?(1?x)210实为这分子中的x，则所求系数为C11 4

7

7、若f(x)?(1?x)m?(1?x)n(m?n?N)展开式中，x的系数为21，问m、n为何值时，x的系数最小？

22227、由条件得m+n=21，x的项为Cmx?Cnx，则Cm?Cn?(n?2

2

22212399)?.因n∈N，242

故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x的系数最小

8、自然数n为偶数时，求证：

1?2Cn?Cn?2Cn?Cn???2Cn012n?1n1234n?1n?1 ?Cn?3?2n135n?1nn?18、原式=(Cn?Cn?Cn???Cn?Cn)?(Cn?Cn?Cn???Cn)?2?29、求80被9除的余数 ?3.2n?1

119、 80?(81?1)11110110?C118111?C118110???C1181?1?81k?1(k?Z),

∵k∈Z,∴9k-1∈Z，∴81被9除余8 1110、在(x+3x+2)的展开式中，求x的系数 25

10、(x2?3x?2)5?(x?1)5(x?2)5

在(x+1)展开式中，常数项为1，含x的项为C1在(2+x)展开式中，常数项为2=32，5?5x，

5

5

5

4含x的项为C152x?80x

∴展开式中含x的项为 1?(80x)?5x(32)?240x，此展开式中x的系数为240 11、求(2x+1)展开式中系数最大的项 11、设Tr+1的系数最大，则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数，即有

12

rr?1r12?rr?113?r?C12?2C12?C122?C212 ?r12?rr?111?r??rr?1 C2?C1212?12?2C12?C12 ?311?r?4,?r?4 334∴展开式中系数最大项为第5项，T5=16C12x4?7920x4

高考二项式定理总结

1．二项式定理：

0n1n?1(a?b)n?Cna?Cnab?rn?rr?Cnab?nn?Cnb(n?N?)，

2．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做(a?b)的二项展开式。

r(r?0,1,2,???,n). ②二项式系数:展开式中各项的系数Cnn③项数：共(r?1)项，是关于a与b的齐次多项式

rn?rrrn?rr④通项：展开式中的第r?1项Cn用Tr?1?Cn ab表示。ab叫做二项式展开式的通项。

3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(n?1)项。

②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(a?b)与(b?a)是不同的。

③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。

各项的次数和等于n.

012rn④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn,Cn,Cn,???,Cn,???,Cn.nn项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：

0122令a?1,b?x, (1?x)n?Cn?Cnx?Cnx?0122令a?1,b??x, (1?x)n?Cn?Cnx?Cnx?rr?Cnx?rr?Cnx?nn?Cnx(n?N?) nn?(?1)nCnx(n?N?)

5．性质：

①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即

0nkk?1，···Cn Cn?Cn?Cn②二项式系数和：令

012Cn?Cn?Cn?12 变形式Cn?Cn?a?b?1,则二项式系数的和为

r?Cn?n?Cn?2n， n?Cn?2n?1。

r?Cn?③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：

0123在二项式定理中，令a?1,b??1，则Cn?Cn?Cn?Cn?0242r13从而得到：Cn?Cn?Cn????Cn?????Cn?Cn?n ?(?1)nCn?(1?1)n?0，

2r?1?Cn?????1n?2?2n?1 2④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

0n01n?12n?22(a?x)n?Cnax?Cnax?Cnax?00n122n?2(x?a)n?Cnax?Cnaxn?1?Cnax?n0n?Cnax?a0?a1x1?a2x2?nn0?Cnax?anxn??anxn?a2x2?a1x1?a0

令x?1, 则a0?a1?a2?a3令x??1,则a0?a1?a2?a3?①?②得,a0?a2?a4①?②得,a1?a3?a5?an?(a?1)n?????????①?an?(a?1)n????????②(a?1)n?(a?1)n?an?(奇数项的系数和)2(a?1)n?(a?1)n?an?(偶数项的系数和)2n2n⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数C取得最大值。

如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数

Cn?12n,Cnn?12n同时取得最大值。

⑥系数的最大项：求(a?bx)展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项

系数分别

r?1项系数最大，应有?为A1,A2,???,An?1，设第

?Ar?1?Ar，从而解出r来。

?Ar?1?Ar?2

专题一

题型一：二项式定理的逆用；

123例：Cn?Cn?6?Cn?62?n?Cn?6n?1? .

n?Cn?6n与已知的有一些差距，

0123解：(1?6)n?Cn?Cn?6?Cn?62?Cn?63?123?Cn?Cn?6?Cn?62?n?Cn?6n?1? ?1012(Cn?Cn?6?Cn?62?6112n(Cn?6?Cn?62??Cn?6n) 611n?Cn?6n?1)?[(1?6)n?1]?(7n?1)

66123练：Cn?3Cn?9Cn?n?3n?1Cn? .

n，则?3n?1Cnnn012233?Cn3?Cn?Cn3?Cn3?Cn3?nn?Cn3?1?(1?3)n?1123解：设Sn?Cn?3Cn?9Cn?122333Sn?Cn3?Cn3?Cn3?(1?3)n?14n?1 ?Sn??33题型二：利用通项公式求x的系数； 例：在二项式(4n132n?x)的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？ x2n?22解：由条件知Cn?45，即Cn?45，?n?n?90?0，解得n??9(舍去)或n?10，

由

Tr?1?C(x)3r10?1410?r(x)?Cx23rr10?10?r2?r43，由题意?10?r2?r?3,解得r?6， 4363则含有x的项是第7项T6?1?C10x?210x3,系数为210。

19)展开式中x9的系数？ 2x1r11r29?r)?C9rx18?2r(?)rx?r?C9r(?)rx18?3r，令18?3r?9,则解：Tr?1?C9(x)(?2x22r?3

132139故x的系数为C9(?)??。

222练：求(x?

题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式(x2?12x)10的展开式中的常数项？