2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第十章 2 第2讲 排列与组合

第2讲 排列与组合

1．排列、组合的定义 排列的定义 组合的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 合成一组 2.排列数、组合数的定义、公式、性质 定义 排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数 Amn＝n(n－1)(n－2)… 公式 n！(n－m＋1)＝ （n－m）！An，0！＝1 n＝n！组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数 AmnmCn＝m＝ Amn（n－1）（n－2）…（n－m＋1） m！nCmn＝Cn－m性质 m1，Cm＝Cmn＋Cnn＋1 －

[疑误辨析]

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )

m

(4)若组合式Cxn＝Cn，则x＝m成立．( )

(5)Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× [教材衍化]

1．(选修2-3P27A组T7改编)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )

A．144 B．120 C．72 D．24

解析：选D.“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.

2．(选修2-3P19例4改编)用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )

A．8 C．48

B．24 D．120

313解析：选C.末位数字排法有A12种，其他位置排法有A4种，共有A2A4＝48(种)排法，所

以偶数的个数为48.

3．(选修2-3P28A组T17改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是( )

A．18 C．30

B．24 D．36

1

解析：选C.选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C24C3＝18种，选出的3人21

中有1名男同学2名女同学的方法有C1故3名学生中男女生都有的选法有C24C3＝12种，4C32＋C14C3＝30种．故选C.

[易错纠偏]

(1)分类不清导致出错；

(2)相邻元素看成一个整体，不相邻问题采用插空法是解决相邻与不相邻问题的基本方法．

1．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装计算机和组装计算机各2台，则不同的取法有________种．

3

解析：分两类：第一类，取2台原装计算机与3台组装计算机，有C26C5种方法；第二23类，取3台原装计算机与2台组装计算机，有C3所以满足条件的不同取法有C26C5种方法．6C52

＋C36C5＝350(种)．

答案：350

2．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．

解析：设这5件不同的产品分别为A，B，C，D，E，先把产品A与产品B捆绑有A22种

3种摆法，最后把产品C插空有C1种摆法，所以共有A2A3摆法，再与产品D，E全排列有A33231＝36(种)不同的摆法． C3

答案：36

排列应用题

3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数． (1)选其中5人排成一排；

(2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体站成一排，男、女各站在一起； (4)全体站成一排，男生不能站在一起．

【解】 (1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A57＝2 520种排法． (2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A77＝5 040 种排法．

3(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A3种排法；女生必须2

站在一起，是女生的全排列，有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A2种排法，32由分步乘法计数原理知，共有N＝A3·A44·A2＝288(种)．

4种排法，男生在4个女生隔成的五个空隙(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A4

43中安排共有A35种排法，故N＝A4·A5＝1 440(种)．

(变问法)在本例条件下，求不同的排队方案的方法种数： (1)甲不在中间也不在两端； (2)甲、乙两人必须排在两端． 解：(1)先排甲有4种，其余有A66种，

6＝2 880种排法． 故共有4·A6

(2)先排甲、乙，再排其余5人，

5

共有A22·A5＝240种排法．

求解有限制条件排列问题的主要方法

分类法 选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数 选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数 直接法 分步法 捆绑法 插空法 间接法 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空隙中 对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法 [提醒] (1)插空时要数清插空的个数，捆绑时要注意捆绑后元素的个数及相邻元素的排列数．

(2)用间接法求解时，事件的反面数情况要准确．

由0，1，2，3，4，5这六个数字组成的无重复数字的自然数，则含有

2，3但它们不相邻的五位数有________个．

3个，2，3去排四个空当，解析：不考虑0在首位，0，1，4，5先排三个位置，则有A4

32

有A24个，即有A4A4个；

23222而0在首位时，有A23A3个，即含有2，3，但它们不相邻的五位数有A4A4－A3A3＝252

个．

答案：252

组合应用题

要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选

法？

(1)至少有1名女生入选； (2)男生甲和女生乙入选；

(3)男生甲、女生乙至少有一个人入选．

【解】 (1)法一：至少有1名女生入选包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女． 由分类加法计数原理知总选法数为

1C4＋C2C3＋C3C2＋C4C1＋C5＝771(种)． C575757575

法二：“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”，可用间接法求解．从12人

5

中任选5人有C512种选法，其中全是男代表的选法有C7种．

所以“至少有1名女生入选”的选法有

5－C5＝771(种)． C127

(2)男生甲和女生乙入选，即只要再从除男生甲和女生乙外的10人中任选3名即可，共

3有C22C10＝120种选法．

(3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”，即从其余10人中任选5人有C510种选法，所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数

5为C512－C10＝540(种)．

(变问法)在本例条件下，求至多有2名女生入选的选法种数． 解：至多有2名女生入选包括以下几种情况： 0女5男，1女4男，2女3男， 由分类加法计数原理知总选法数为

5＋C1C4＋C2C3＝546(种)． C75757

含有附加条件的组合问题的解法

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．

(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”