第十四章：排列、组合与概率(1)

5．解方程：3P8

mm?1； ?4P96．解方程：2Pn

7．设S3?3Pn2?1?6Pn1；

123100?P1?P2?P3?...?P100，

则S的个位数字是多少？

【排列的应用问题】（一）

1．排列应用问题一般可分为两类，即无限制

条件的排列问题和带限制条件的排列问题． 常见题型有： (1)排队问题； (2)数字问题；

(3)与几何有关的问题．

2．解排列应用问题的注意点 (1)认真审题

根据题意分析它属什么数学问题? 题目中的事件是什么?有无限制条 件?通过怎样的程序来完成这个事 件?用什么计算方法?

(2)弄清问题的限制条件

注意研究问题，确定特殊元素和特 殊的位置．考虑问题的原则是特殊 元素、特殊位置优先，必要时可通 过试验、画图、小数字简化等手段 帮助思考．

(3)恰当分类，合理分步

3．解排列应用问题的基本思路和常用方法 (1)基本思路

①直接法

即从条件出发，直接考虑符合条件的排列数。

②间接法

即先不考虑限制条件，求出所有排列数， 然后再从中减去不符合条件的排列数。

(2)常用方法

特殊元素、特殊位置分析法，排除法 (亦称去杂法)，对称分析法，捆绑法， 插空档法，构造法等等。

⒈从n个不同的元素中选出m个元素的 排列，要求某个元素必须在某个固定的 位置的排列数为Pn?1；

（特殊元素特殊位置法）

⒉n个不同元素排成一列，其中m 个元素必须在相邻位置的排列总数 为Pm?Pn?m?1。

（捆绑法）

⒊n个不同元素排成一列，其中某 m个元素都不相邻的排列总数为

m?1n?1??m?Pn?m?Pnm?m?1??

2??（插空法）

例题讲解：

例1 从4种蔬菜品种中选出3种，分别

种植在不同土质的3块土地上进行 试验，有多少种种植方法?

例2 4个学生和2个教师排成一排，

(1)如果2个教师必须相邻且排在正中间

位置，排法种数为多少?

(2)如果2个教师不相邻排列，排法种数 为多少?

解：

点评 元素必须相邻排列，可以先将相邻的

元素看作一个整体或“集团”，然后分 “集团”间排列与“集团”内部排列 两个步骤计数；考虑元素不相邻的排 列，可以制造空档插进去，即先制造 空档，后“插空”计数。 例3

A,B,C,D,E,F共六人站成一行， A不站在排头，也不站在排尾，有

多少种站法?

解：

练习：

1．有9本不同的书，其中数理化各三本，

先从中取出6本，放在书架上，第一本 放数学书，第二本放物理书，最后三本 放化学书，有几种不同的方法？

2．某班有四个小组分别有人数m,n,p,q，

⑴现选一人管理生活，有多少种选法； ⑵每小组选一组长有多少种选法？

3．四名学生报名参加跑步、跳高和乒乓球比赛，

⑴每人限报一项，则报名方式总数位多少种； ⑵这四名学生争夺三项比赛冠军，获得冠军 的可能情况是多少种? 4．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的

火车，每股岔道只能停放一列火车，则不 同的停放方法有多少种？ 5．5人参加演出，现有5件衣服，5条裙子， 每人选一套衣服有多少种选法？ 6．7个人并排站成一排，其中甲、乙两人 站在两端，则不同站法有多少种？ 7．某铁路线上共有306种车票，每张车票

都标明起讫站点，则可供选用的车站个数 是多少？ 8．

A,B,C,D,E共五人并排站成一行， 如果B必须站在A的右边(A,B可以

不相邻)有多少种不同的站法?

9．一天要排语文，数学，英语，生物，体育，

班会六节课(上午四节，下午两节)要求上 午第一节不排体育，数学课排在上午，班 会课排在下午，共有多少种不同排课方法?

10．六个人站在一起，排成一排，其中甲必须

站在乙的左边，问有多少种不同的站法？ 六个人站在一排，甲不站在最左端，甲也 不与乙相邻，共有多少种不同的排法？

11．在一排八个房间中安排三位客人住宿，

每人一间并且每人房间的左右都有空房， 问有多少种安排方法？

12．四名女生五名男生排队，最后一位

女生排在第五位的排法有多少种？ 13．有标号为1,2,3,4,5的五个红球和标号

为1,2的两个白球排成一排，

⑴若要使白球不相邻可有多少种排法； ⑵若要使两个1号球相邻，同时白球 不相邻，又有多少种方法？

14．5个人站成一排照相，

① 其中② ③

A不能站在中间有多少种排法； 其中A不能站在两端有多少种站法； 其中A不能站在排头，B不能站在

排尾，有多少种方法；

④ 其中A、B要站在一起，有多少种

站法； ⑤ 其中A、B不能相邻站在一起有多

少种站法？

【排列的应用问题】（二）

1．数字问题是排列应用中的常见题型，

解这类题目除了要运用解一般排列 应用题的方法外，还应特别注意这 类问题的一些特点：

(1)隐蔽性

数字问题限制条件通常很隐蔽， 如0不能排首位(即最高位)， 1不能作为对数的底等．

(2)专业性

如解整除问题必须了解整除性的 有关知识等．

(3)灵活性

数字问题出题灵活，求解方法多， 应反复研究，不断总结，积累经验， 提高解题能力．

2．由于排列计数问题的结果数量较大，

难以直接检验其正确性．因此，要 注重用不同的解题方法求得结果从 而获得检验．对于选择题的答案要 谨慎选择，注重等价答案的不同形 式，避免误选．