医用物理习题集（第九章 静电场）

第九章 静电场

一．目的要求： 掌握描述电场性质的两个物理量——场强和电势以及它们之间的关系。掌握静电场的叠加原理、高斯定理与环路定理，理解它们所揭示的静电场性质。掌握电介质的性质及对电场的影响。

二．要点：

?qq?11．库仑定律：F?k122r?4??r??F电场强度定义：E?

q00q1q2?r 2r?点电荷q周围的场强：E?14??0q?r，是一个大小方向都与试探电荷无关的量，2r它仅决定于电场中给定点的性质。

场强迭加原理：点电荷系在给定点的总场强为各个点电荷单独存在时在该点的场强的矢量和：

???? E?E1?E2???En?n?i?1?Ei

对于连续分布的电荷，求总场强时要用矢量积分：E????dE

2．人们用电场线来形象地描述场强的空间分布。电场线起于正电荷（或来自无穷远），止于负电荷（或延伸到无穷远），任何电场线不会相交；电场线不形成闭合曲线。由于E?d?Eds?，

d?ds?E是垂直于场强方向的单位面积的电场线条数，叫电场线密度。

当取比例系数为1时，E?d?ds?E。

?3．(1) 通过面元ds的电通量为该处场强E与ds在垂直于场强方向的投影面积的

乘积。即：d?E?Ecos?ds?E?ds。

?式中，?是所考虑的面元ds的正法线方向与E所成的角。对于闭合面，电场线穿

?出闭合面，dΦE为正，穿入时dΦE为负。

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(2) 对于非无限小的曲面s，其电通量为

?E??d?SE???SEcos?ds????S??E?ds

当s为闭合曲面时，?E???Ecos?ds????S??E?ds

在均匀电场中，?E?Escos??E?s

4．高斯定理：通过任意闭合曲面的电通量，等于该面所包围的电荷量的代数和除以?0，与闭合面外的电荷无关。用公式表示为：

?E???Ecos?dsS?1n?0?qi?1i

高斯定理深刻地反映了静电场的物理性质，它借助电通量与场源电荷之间的数量关系，揭示了静电场“有源”这一基本性质，它被列为电磁学理论的四个基本定律之一。 5．利用高斯定理可以比较方便地求出电荷分布有一定对称性和均匀性的带电体的场强。解决这一问题的关键是分析对称性，选择适当的高斯面。教材中的各例得出的一些结论对我们认识一些具体问题是十分有益的。

（1）均匀带电球壳内场强为0，球壳外任意一点的场强与将球壳的电量看成是集中于球心的点电荷情况相同。

（2）无限大均匀带电平面两侧的场强是均匀的，与场点到平面的距离无关。

E??2?0

式中，σ是电荷面密度；带正电时，E垂直于平面向外；带负电时，E指向带电平面。

两个无限大的带等量异号电荷的平行平面之间的场强E?侧E?0。

（3）无限长均匀带电直导线周围的电场 E???0，平行平面的两个外

?2??0x ，

式中，?是导线上的电荷线密度，x是场点与导线的距离。 6．静电场环的流路定理，静电场力作功。

（1） 在点电荷q的电场中移动电荷q0由a点到b点时，电场力的功：

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Aab??badA?qq04??0ra(1?1rb)

（2）任何带电体系的静电场可看作若干点电荷电场的迭加，合电场E对q0的功 Aab?q0?Ecos?dl

ab若a?b，即沿闭合路径移动电荷一周，Aab?0。 故 ???Ecos?dl??E?dl?0

LL矢量沿一条闭合路径的线积分叫该矢量的环流或环路。因此，该式表明，静电场强沿任何闭合路径的线积分恒等于0，这个结论叫静电场的环路定理。

静电场力作功仅与试探电荷的电量及路径的起点、终点位置有关，而与电荷移动的路径无关，显然，环路定理与这种说法是等价的。环路定理反映了静电场是一种“有势”场。

7．电势能定义：电荷q0在电场中某点a的电势能Wa为：

Wa?q0?Ecos?dl

a? 电势的定义：电场中某点a的电势 Ua?Waq0???aEcos?dl，它在数值上等

于单位正试探电荷在该点所具有的电势能。电势是标量。

8．静电场中任意两点a、b间的电势差（即 电压）：

Uab?Ua?Ub??baEcos?dl

在电势差为Uab的两点间移动电荷所作的功：Aab?qoUab?q0(Ua?Ub) 9．真空中一个孤立点电荷q周围的电场中某点a的电势：

Ua???raEcos?dl?q4??0ra

点电荷系周围的电场中某点a的电势等于各点电荷单独存在时在该点的电势的代数和：

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Ua?14??0n?i?1qiri 。当电荷连续分布时：Ua?14??0?dqr

10．电势相等的点构成的曲面称为等势面，在等势面上移动电荷时电场力作功为0。 电场中某点的场强在任一方向上的分量El等于电势在此方向上变化率的负值，即 El?Ecos???dUdl （负号表示场强方向指向电势降低的方向。）

在电场中的给定点，沿等势面法线n的方向上电势变化率的绝对值最大，此方向上??0，所以：

E??dUdn?gradU （

dUdn 称该点的电势梯度）

已知电势分布，求场强可用此关系。上式给出场强与电势之间的微分关系。 11．电偶极子电场中某点a的电势：Ua?14??0?Pr2a?cos?

式中 P?ql，称为偶极子的电矩，方向为负电荷指向正电荷的方向。ra是偶极子中心到所考虑的场点的矢径。?是ra与P的夹角。注意：零等势面、正半区、负半区等概念。

12．电介质在外电场作用下电介质表面产生束缚电荷的现象称电介质的极化。无极分子发生位移极化，有极分子发生转向极化，也存在位移极化，但较弱。

电介质的电极化率?e是表示电介质极化性能的参数，?e?P?0E。它表示在总场强

E为1单位时，电介质中单位体积内分子电矩矢量和是多少。显然，真空的?e?0。

13．处于电场中的电介质，极化的结果使电介质中的电场发生了改变。总场强 E?Eo1??e?E0?r

式中，?r?1??e 称为该电介质的相对介电常数；???r?0 叫做电介质的介电常数。

平行板电容器的电容 C?两极板间的电势差）。

平行板电容器两极板间为真空中时的电容

QU， （式中Q是任一极板上电量的绝对值，U是

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