2019届高三一轮总复习文科数学检测：8-8圆锥曲线的综合问题 含解析

[课 时 跟 踪 检 测]

[基 础 达 标]

1．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )

A．有且只有一条 C．有且只有三条

B．有且只有两条 D．有且只有四条

解析：设该抛物线焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝xApp

＋2＋xB＋2＝xA＋xB＋1＝3>2p＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．

答案：B

2．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是( )

?1515?

? A.?－

3，3??

?15?

? C.?－

3，0??

?15?

? B.?0，

3??

??15

? D.?－，－1

3??

?y＝kx＋2，

解析：由?22得(1－k2)x2－4kx－10＝0.设直线与双曲线右支交于

?x－y＝6，

?Δ＝16k－4?1－k?×?－10?>0，?4k

不同的两点A(x，y)，B(x，y)，则?x＋x＝>0，

1－k

?xx＝－10>0，?1－k

2

2

1

1

2

2

1

2

2

12

2

1－k2≠0，

15??15

?. 解得－3

3??答案：D

x2

3．(2017届山东师大附中模拟)已知两定点A(0，－2)，B(0,2)，点P在椭圆12y2→|－|BP→|＝2，则AP→·→为( ) ＋16＝1上，且满足|APBP

A．－12

B．12

C．－9 D．9

x2y2→|＋|BP→|＝2×4

解析：易知A(0，－2)，B(0,2)为椭圆12＋16＝1的两焦点，∴|AP→|－|BP→|＝2，∴|AP→|＝5，|BP→|＝3.∵|AB→|＝4，∴△ABP为直角三角形，＝8.又|AP

→·→＝|BP→|2＝9. ∴APBP

答案：D

x2y2

4．(2017届北京大兴一中月考)已知双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于C的渐近线的直线交C于点P.若PF1⊥PF2，则C的离心率为( )

A.2 C．2

B.3 D.5

b

解析：取双曲线C的渐近线为y＝ax.因为F1(－c,0)，F2(c,0)，所以过F2作bb

平行于渐近线y＝ax的直线PF2的方程为y＝a(x－c)．

a

因为PF1⊥PF2，所以直线PF1的方程为y＝－b(x＋c)． by＝??a?x－c?，

联立方程组?a

y＝－?x＋c?，??b

2ab??b2－a2

得点P的坐标为?，－c?.

?c?因为点P在双曲线C上，

?b2－a2?2?2ab?2

???－?c??b2－a2?24a2?c??

所以a2－b2＝1，即a2c2－c2＝1.

222?c－2a?4a2

222

因为c＝a＋b，所以a2c2－c2＝1，整理得

c2＝5a2.

c

因为e＝a>1，所以e＝5.故选D. 答案：D

5．(2017届皖南八校联考)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( )

A．y2＝2x C．y2＝－2x

B．(x－1)2＋y2＝4 D．(x－1)2＋y2＝2

解析：(直译法)如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)．连接MA，PM.则MA⊥PA，且|MA|＝1，又因为|PA|＝1，所以|PM|＝|MA|2＋|PA|2＝2，

即|PM|2＝2，所以(x－1)2＋y2＝2. 答案：D

6．(2017届南昌模拟)已知A(－2,0)，B(1,0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是( )

A．(x＋2)2＋y2＝4(y≠0) B．(x＋1)2＋y2＝1(y≠0) C．(x－2)2＋y2＝4(y≠0) D．(x－1)2＋y2＝1(y≠0)

|PA||AO|2

解析：利用角平分线的性质|PB|＝|OB|＝1＝2.设P(x，y)，(y≠0)，则?x＋2?2＋y2＝2?x－1?2＋y2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)． 答案：C

x2y2

7．(2017届绵阳二诊)若点O和点F分别为椭圆4＋3＝1的中心和左焦点，→·→的最大值为( )

点P在椭圆上的任意一点，则OPFP

21

A.4

B．6

C．8 D．12

→·→＝(x，y)·

解析：由题意得F(－1,0)，设P(x，y)，则OPFP(x＋1，y)＝x2＋xx2y2311

＋y，又点P在椭圆上，故4＋3＝1，所以x2＋x＋3－4x2＝4x2＋x＋3＝4(x＋2)2

2

1→·→的最

＋2，又－2≤x≤2，所以当x＝2时，4(x＋2)2＋2取得最大值6，即OPFP大值为6.

答案：B

x2y2

8．(2017届温州十校联考)若双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的虚轴端点到直线

aby＝a2x的距离为1，则双曲线的离心率的最小值为( )

A．3 C.3

B．2 D.2

x2y2

解析：因为双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的虚轴端点(0，b)或(0，－b)到直线ybc2242

＝ax的距离为1，所以＝1，即b＝1＋a，所以离心率e＝a2，＝1＋

1＋?a2?2

2

a4＋112

≥1＋2，∴e≥3，当且仅当a＝a2a2，即a＝1，b＝2时取等号，故选C.

答案：C

9．(2018届西宁模拟)已知点P(2,1)，若抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是________．

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直线方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx＋1－2k，

?y＝kx＋1－2k，联立?2

?y＝4x，

整理得k2x2＋[2k(1－2k)－4]x＋(1－2k)2＝0. 2k?1－2k?－4

所以有x1＋x2＝－，

k2∵弦AB恰好是以P为中点，∴－2k?1－2k?－4

＝4，解得k＝2.

k2

所以直线方程为y＝2x－3，即2x－y－3＝0. 答案：2x－y－3＝0