反例在理解数学分析中概念方面的应用

反例在理解数学分析中概念方面的应用

【摘要】反例对于数学分析整个学科的理论完善和发展起着重要作用。本文的主要内容是对数学分析中反例在理解概念方面的应用进行举例概括总结，以介绍反例这种数学方法为目的，通过具体实例来说明。数学分析中的概念与反例太多，篇幅有限，难以枚举，本文仅对应用反例透彻理解定义，准确把握概念间的关系，揭示概念内涵，三个方面进行分类介绍。力求尽可能详尽的将反例在理解数学分析中概念方面的重要应用呈现出来。另外，就应用反例应注意的问题做以简单介绍。

【关键词】数学分析；概念；反例；应用

数学分析的内容包含一套抽象而且形式化的严谨的理论体系，概念的本质较为难以理解。学习过程中容易犯的一些想当然的错误，反例是解决此类问题最有效的方法。

1.反例在理解定义方面的应用

反例是强化概念的有力工具，也可以深化学生对知识的理解。本节主要通过函数在一点极限的定义的两个具体例子来说明反例在帮助理解定义上的作用。对于初学者来说，对这些定义的理解常常模糊不清，在讲授这些知识的时候，如果从正面论述，同学们对它们的理解并不深刻。如果配合一些反例说明，效果就不一样了。

1.1定义[1,P42] 设函数在点的去心邻域内有定义，如果存在常数，对于，，当时，有，成立，则称函数当时存在极限，极限是，记为或.

在此定义中，要求函数在点的去心邻域内有定义，说明函数在点的极限与在点的情况无关。在点没定义，但在点的极限仍可能存在。

例1 设恒成立，但在某一点处有. 分析：如 。函数恒成立，但在处有： （）

说明函数在点的极限与在点的情况无关。函数在没定义的点也可以有极限。 例2 函数.

分析：该函数在点没定义，但

所以，函数在没定义的点也可以有极限。

学习新定义时，死记硬背容易记错或记不全，而理解是记忆、运用定义的最好方法。如上例则容易忽视掉定义的某些条件，就定义中的去心邻域，应该回过头来仔细分析一下，为什么是去心邻域而不是普通的呢？它们会造成什么样的不同？举出类似上述的例子，将会对定义的理解更加深入，而并不只是一些表面印象。在教学中，教师不仅要运用正确的例子深刻阐明知识点，而且要运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，弥补正面教学的不足，从而加深学生对知识的理解，给他们留下深刻的印象。

2.反例在理解概念间关系方面的应用 2.1导数与函数连续性之间的关系

导数与函数连续性之间的关系对于初学者较难理解，应用反例可以比较方便地学习它。

定理2.1.1[1,P89] 若函数 在点X0可导,则必在该点连续。可导仅是函数在改点连续的充分条件，而不是必要条件。