初等几何研究试题答案(6)李长明版

六、关于共线点与共点线

1、证明四边形两双对边中点连线的交点与两对角线之中点共线

证明：连接EF.FG.GH.HE.HJ.OJ.OI(如图) ∵E.H分别是AB.AD的中点， F,G分别是BC.CD的中点∴EH= ∵EH ∥FG ∴四边形EFGH是平行四边形 ∴ OH=OF ∵H.J分别是AD.AC的中点，F.I分别是BG.BD的中点 ∴HJ=11BD FG=BD 2211CD IF=CD 22 ∴HJ∥IF ∴∠JHO=∠FIO ∵∠JHO=∠FIO , HJ=FI,HO=FO∴△JHO?△IFO ∴∠HOJ=∠FOI∴I.O.J三点共线 ∴四边形两双对边中点连线的交点，与两对角线之中点共线 2. 已知：E，F分别在正方形ABCD的两边BC,CD上，是∠EAF=45°，但AC不是∠EAF的角平分线，自E,F作AC的垂线，垂足分别是P,Q 求证：△BPQ的外心与B，C共线

ADPQB证明： ∵FQ⊥AC

FEC

∴∠ABE=∠AQF 又∵∠EAF=45° ∴∠BAE=∠QAF ∴△ABE∽△AQF 可得

ABAE? AQAF同理可得，△AEP∽△AFD 即

AP=ADAE AF∴

ABAP= AQAB利用切割线定理之逆定理，因△BPQ的外心在BC上，等价于AB,APQ是切，割线 ∴△BPQ的外心在BC上

3.在Rt△AB为斜边，CH为斜边上 的高，以AC为半径作☉A，过B作☉A的任一割线交☉A于D、E，交CH于F(D在B、F之间),又作∠ABG=∠ABD，G在☉A上，G与D在AB异侧。

求证：（1）A、H、D共圆。 （2）E、H、G共线。 （3）FD、FE、BD、BE四线段成比例

证明：如图所示：连结AE、AD

（1）∵BC2=BH·BA(摄影定理） BC2=BD·BE(割线定理） ∴BD·BE=BH·BA

∴A、H、D、E四点共圆 (2）∵∠ABD=∠ABG

∴∠GBH=∠DBH(对称性） 又∵A、H、D、E四点共圆

∴∠FEA=∠DHB(对角等于内对角） ∠AHE=∠EDA（同弧所对的角） 又∵AE=AD ∴∠AEF=∠ADF

∴∠AEF=∠DHB=∠GHB=∠ADE=∠AHE ∴∠GHB=∠AHE（对顶角） ∴E、H、G三点共线 (3)∵∠ABD=∠ABG

∴由对称知:HB平分∠DHG(∠GHB=∠DHB) 又∵ CH垂直AB E、H、G三点共线 ∴HC平分∠DHE

∴HC、HB是∠DHE的内外角平分线 ∴

DFHDBDFE=HE=BE

4.设P

是正方形

ABCD

的一点使

内，

PA:PB:PC=1:2:3,将BP绕B点朝着BC旋转90

BP至Q.

求证：A、P、 Q 共线.

证明：连接 CQ,∵PA:PB:PC= 1:2:3

设AP=1 则 BP=2 CP=3 ∵BP绕B点朝着BC旋转90° ∴∠PBQ=90°BP=BQ=2 ①

°

∠BPQ=∠BQP=45

22

∴PQ=√BP+BQ=2√2 又∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=BC ②

∴∠ABC=∠PBQ= 90°即∠ABP+∠PBC=∠CBQ +∠PBC=90°