自主招生中的三角函数问题(2)[学生版]

自招竞赛 数学

“自主招生中的三角函数问题（2）”

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知识定位 三角函数是中学数学的主体内容，是高考的重点。近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，将重点转移到对三角函数的图像与性质的考查、对基础知识和基本技能的考查上。高校的自主招生考试作为一种选拔优秀学生的考试，加强了对三角函数恒等变形的考查。可见，三角函数问题已成为各校自主招生的热点问题之一。

分析近几年高校自主招生中涉及的三角函数试题，可归纳为以下几种题型：

纯三角问题（代数运算为主）、与数列综合、与导数综合、与函数、不等式综合、与复数综合、与解析几何综合、与数论综合。

自主招生中的三角函数问题（1）主要讲解知识梳理部分和纯三角问题（代数运算为主）。 自主招生中的三角函数问题（2）主要讲解三角函数与数列综合、与导数综合、与函数、不等式综合、与复数综合、与解析几何综合、与数论综合。

知识诊断 检查学生自主招生中的三角函数问题（1）的试题演练完成情况并分析。

知识梳理 见自主招生中的三角函数问题（1）

综合习题拓展 ? 与数列综合 例1 是否存在0?x?招生考试)

1

?2cosx、tanx、cotx的某种排列为等差数列？(2010，北京大学自主，使得sinx、

? 与导数综合

x3? 例2 证明：sinx?x?(x?(0,))。(2010，南开大学数学特长班招生考试)

62

? 与函数、不等式综合

例3 已知对任意x均有acosx?bcos2x??1恒成立。求a?b的最小值。(2009，北京大学自主招生考试)

2

? 与复数综合

例4求2?2e0.4?i?e1.2?i的模。(2009，清华大学自主招生考试)

? 与解析几何综合

例5 单位圆上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)若x1?x2?x3?y1?y2?y3?0， 证明：x21?x22?x23?y21?y22?y23?

3。(2011，北京大学保送生考试) 23

例6已知点P是锐角△ABC内一点，使得∠PAB=∠PBC=∠PCA． 求证：cot?PAB?cotA?cotB?cotC．

A P B C

【练习】设P为△ABC内或边界上一点，点P到三边的距离为PD、PE、PF．

求证：PA?PB?PC?2(PD?PE?PF)．

A F E P B D C

4