2015年高考福建理科数学试题及答案(word解析版)

?cos2(???)?sin(???)sin(???)??[1?(m5)2]?(m5)22m2??15．

（20）【2015年福建，理20，14分】已知函数f?x??ln?1?x?，

g?x??kx?k?R?．

（1）证明：当x>0时，f?x??x；

（2）证明：当k<1时，存在x>0，使得对任意的x??0,t?恒

有f?x??g?x?；

（3）确定k的所以可能取值，使得存在t>0，对任意的

x??0,t?，恒有|f(x)-g(x)|

解：解法一：

1?x（1）令F(x)?f(x)?x?ln(1?x)?x,x?[0,??)，则有F?(x)?1?，当x?(0,??)?1?xx?102时，F?(x)?0，

所以F(x)在[0,??)上单调递减，故当x?0时，F(x)?F(0)?0，

即当x?0时，f(x)?x．

?kx?(1?k)（2）令G(x)?f(x)?g(x)?ln(1?x)?kx,x?[0,??)，则有G?(x)?x1， ?k??1x?1当k?0时，G?(x)?0，故G(x)在[0,??)单调递增，G(x)?G(0)?0，

故对任意正实数x均满足题意

k11当0?k?1时，令G?(x)?0，得x?1???1?0，取x??1，对任kkk00意x?(0,x)，有G?(x)?0，

从而G(x)在[0,??)单调递增，所以G(x)?G(0)?0，即f(x)?g(x)． 综上，当k?1时，总存在x?0，使得对任意x?(0,x)，恒

有f(x)?g(x)．

（3）当k?1时，由（1）知，对于?x?(0,??),g(x)?x?f(x)，故g(x)?f(x)．

|f(x)?g(x)|?g(x)?f(x)?kx?ln(1?x)令M(x)?kx?ln(1?x)?x,x?[0,??)，

1?2x?(k?2)x?k?1则有故当M?(x)?k??2x?1?xx?10002213

k?2?(k?2)2?8(k?1)x?(0,)4时，M?(x)?0，

上单调递增，故M(x)?M(0)?0，即

M(x)|f(x)?g(x)|?x2在

k?2?(k?2)2?8(k?1)[0,)4．所以满

足题意的t不存在，当k?1时，由（2）知，存在x?0，

使得当x?(0,x)时，f(x)?g(x)，

此时|f(x)?g(x)|?f(x)?g(x)?ln(1?x)?kx，令N(x)?ln(1?x)?kx?x,x?[0,??)，

1?2x?(k?2)x?1?k则有，当N?(x)??k?2x?x?1x?10022?(k?2)?(k?2)2?8(k?1)x?(0,)4时，N?(x)?0，

上单调递增，故N(x)?N(0)?0，

N(x)2在

?(k?2)?(k?2)2?8(k?1)[0,)4即f(x)?g(x)?x．

记x与?(k?2)?02(k?2)2?8(k?1)4中的较小者为x，则当x?(0,x)11时，恒有|f(x)?g(x)|?x，故满

足题意的t不存在．当k?1时，由（1）知，当x?0时，

|f(x)?g(x)|?g(x)?f(x)?x?ln(1?x)，

1?2x?x令H(x)?x?ln(1?x)?x,x?[0,??)，则有H?(x)?1?1?，当x?0?2x?xx?122时，H?(x)?0，

所以H(x)在[0,??)上单调递减，故H(x)?H(0)?0，故当x?0时，恒有|f(x)?g(x)|?x，

此时，任意正实数t均满足题意，综上，k?1． 解法二：

（1）解法一． （2）解法二．

（3）当k?1时，由（1）知，对于?x?(0,??),g(x)?x?f(x)，

故|f(x)?g(x)|?g(x)?f(x)?kx?ln(1?x)?kx?x?(k?1)x，令(k?1)x?x，解得

0?x?k?1．

2214

从而得到，当k?1时，对于x?(0,k?1)，恒有|f(x)?g(x)|?x，

故满足题意的t不存在．

?1当k?1时，取k?k2，从而k?k?1，由（2）知，存在x?0，

2110使得x?(0,x),f(x)?kx?kx?g(x)，

k此时|f(x)?g(x)|?f(x)?g(x)?(k?k)x?1?x，令20111?kx?x22，解得

20?x?1?k2，f(x)?g(x)?x，

2k记x与1?的较小者为x，当x?(0,x)时，恒有|f(x)?g(x)|?x，2011故满足题意的t不存在．

当k?1时，由（1）知，x?0,|f(x)?g(x)|?f(x)?g(x)?x?ln(1?x)，

1?2x?x令M(x)?x?ln(1?x)?x,x?[0,??)，则有M?(x)?1?1?， ?2x?xx?122当x?0时，M?(x)?0，所以M(x)在[0,??)上单调递减，故

M(x)?M(0)?0．

故当x?0时，恒有|f(x)?g(x)|?x，此时，任意正实数t均

满足题意，综上，k?1．

本题设有三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答．满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中． （21）【2015年福建，理21（1），7分】（选修4-2：矩阵与

21??11?,Β?变换）已知矩阵A??????． 430?12????（1）求A的逆矩阵A；

（2）求矩阵C，使得AC?B．

?1解：（1）因为|A|?2?3?1?4?2，所以

（2）由AC?B得(A

-1?3?A?1??2??4??2A)C=A-1B，故

15

?1?1??3??2????222????21?????2?1??3?3?11?2???C?A?1B=?2=?22??????21???0?1????2?3??????．

．

（21）【2015年福建，理21（2），7分】（选修4-4：坐标

系与参数方程）在平面直角坐标系xoy 中，圆C的参

x?1?3cost数方程为?（t为参数）．在极坐标系（与平面?y??2?3sint?直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为

?2?sin(??)?m(m?R)． 4（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程； （2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．

解：（1）消去参数t，得到圆C的普通方程为(x?1)?(y?2)?9，由

?2?sin(??)?m，得 422?sin???cos??m?0x?y?m?0，所以直线l的直角坐标方程为

．

（2）依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即|1???22??m|?2，

解得m??3?22． （21）【2015年福建，理21（3），7分】（选修4-5：不等式

选讲）已知a?0，b?0，c?0，函数f?x??x?a?x?b?c的最小值为4．

（1）求a+b+c的值；

1（2）求1a+b+c的最小值． 49222解：（1）因为f(x)?|x?a|?|x?b|?c?|(x?a)?(x?b)|?c?|a?b|?c，当且仅当?a?x?b时，等号成立．

又a>0,b>0，所以|a?b|?a?b，所以f(x)的最小值为a?b?c，

又已知f(x)的最小值为4，

所以a?b?c?4．

（2）由（1）知a?b?c?4，由柯西不等式得11ab(a?b?c)(4?9?1)?(?2??3?c?1)?(a?b?c)?16， 49232222216