（优辅资源）广西高三数学模拟试卷（理科） Word版含解析

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综合可得，a无解．

③当1＜＜3，即＜a＜1时，在[1，）上，g′（x）＜0恒成立，g（x）为减函数；

在（，3]上，g′（x）＞0恒成立，g（x）为增函数．

故函数的最小值为g（）=1﹣ln，∵g（1）=a，g（3）=3a﹣ln3，g（3）﹣g（1）=2a﹣ln3． 若 2a﹣ln3＞0，即ln﹣ln3，

此时，由1﹣ln≥0，g（3）=3a﹣ln3≤2，求得≤a≤＜a＜1．

若2a﹣ln3≤0，即＜a≤ln3=ln=a，

此时，最小值1﹣ln≥0，最大值g（1）=a≤2，求得≤a≤2， 综合可得≤a≤ln

．

或ln

＜a＜1或≤a≤ln

，

，∵g（3）﹣g（1）≤0，则最大值为g（1）

，综合可得，ln

＜a＜1，∵g（3）﹣g（1）＞0，则最大值为g（3）=3a

综合①②③可得，1≤a≤即≤a≤故选：D．

，

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（x﹣1）7的展开式中x2的系数为 ﹣21 ． 【考点】二项式系数的性质． 【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：通项公式Tr+1=

∴（x﹣1）7的展开式中x2的系数为﹣故答案为：﹣21．

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，令7﹣r=2，解得r=5． =﹣21．

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14．已知曲线C由抛物线y2=8x及其准线组成，则曲线C与圆（x+3）2+y2=16的交点的个数为 4 ． 【考点】抛物线的简单性质．

【分析】分别求出抛物线y2=8x及其准线与圆（x+3）2+y2=16的交点的个数，即可得到结论．

【解答】解：圆的圆心坐标为（﹣3，0），半径为4，抛物线的顶点为（0，0），焦点为（2，0），

所以圆（x+3）2+y2=16与抛物线y2=8x的交点个数为2．

圆心到准线x=﹣2的距离为1，小于半径，直线与圆有两个交点， 综上所述，曲线C与圆（x+3）2+y2=16的交点的个数为4． 故答案为：4．

15．若体积为4的长方体的一个面的面积为1，且这个长方体8个顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为 18π ． 【考点】球的体积和表面积．

【分析】设长方体的三度为a，b，c，则ab=1，abc=4，可得c=4，长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，求出直径的最小值，即可求出球O表面积的最小值．

【解答】解：设长方体的三度为a，b，c，则ab=1，abc=4，∴c=4． 长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，所以2r=

=3

，

，

≥

当且仅当a=b时，r的最小值为

所以球O表面积的最小值为：4πr2=18π． 故答案为：18π．

16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为 21 平万

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千米．

【考点】正弦定理；余弦定理．

【分析】由题意画出图象，并求出AB、BC、AC的长，由余弦定理求出cosB，由平方关系求出sinB的值，代入三角形的面积公式求出该沙田的面积． 【解答】解：由题意画出图象：

且AB=13里=6500米，BC=14里=7000米， AC=15里=7500米，

在△ABC中，由余弦定理得， cosB=所以sinB=

==

，

=，

则该沙田的面积：即△ABC的面积S==

=21000000（平方米）=21（平方千米）， 故答案为：21．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．某体育场一角的看台共有20排座位，且此看台的座位是这样排列的：第一排由2个座位，从第二排起每一排都比前一排多1个座位，记an表示第n排的座位数．

（1）确定此看台共有多少个座位；

（2）设数列{2n?an}的前20项的和为S20，求log2S20﹣log220的值． 【考点】数列的求和．

【分析】（1）由题意可得数列{an}为等差数列，根据等差数列通项公式即可求得an=2+（n﹣1）=n+1，（1≤n≤20），由此看台共有座位个数为S20，由等差数列前

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n项和公式即可求得S20．

（2）由（1）可知2n?an=（n+1）?2n，利用“错位相减法”即可求得数列{2n?an}的前20项的和为S20，代入根据对数的运算性质即可求得log2S20﹣log220的值． 【解答】解：（1）由题意可得数列{an}为等差数列， 首项a1=2，公差d=1，

∴an=2+（n﹣1）=n+1，（1≤n≤20），

∴由等差数列前n项和公式可知：此看台共有S20=（2）由2n?an=（n+1）?2n，

数列{2n?an}的前20项和S20=2?2+3?22+4?23+…+21?220， ∴2S20=2?22+3?23+4?24+…+21?221，

两式相减得：﹣S20=2?2+22+23+…+220﹣21?221， =2+

﹣21?221，

=

=230；

=﹣20?221， ∴S20=20?221，

log2S20﹣log220=log220?221﹣log220=log220+log2221﹣log220=21． ∴log2S20﹣log220=21．

18．已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第﹣道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为

，每道程序是相

互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．

（1）求审核过程中只通过两道程序的概率；

（2）现有3部智能手机进人审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X，求X的分布列及数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．

=【分析】（1）设“审核过程中只通过两道程序”为事件A，则P（A）（2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为

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．

．由题意可得X可