2010年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析

【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值； 空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值； 空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值； 19．（12分）（2010?湖北）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1． （Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有

＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

【考点】抛物线的应用．

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，然后根据等量关系列方程整理即可． （Ⅱ）首先由于过点M（m，0）的直线与开口向右的抛物线有两个交点A、B，则设该直线的方程为x=ty+m（包括无斜率的直线）；然后与抛物线方程联立方程组，进而通过消元转化为一元二次方程；再根据韦达定理及向量的数量积公式，实现

?

＜0的等价转化；最

后通过m、t的不等式求出m的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：

化简得y=4x（x＞0）． （Ⅱ）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．

2

13

设l的方程为x=ty+m，由得y﹣4ty﹣4m=0，△=16（t+m）＞0，

22

于是①

又

+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＜0② 又

，于是不等式②等价于

．

?（x1﹣1）（x2﹣1）

③

由①式，不等式③等价于m﹣6m+1＜4t④

22

对任意实数t，4t的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m﹣6m+1＜0，解得．

由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有

，且m的取值范围

．

2

2

【点评】本题综合考查向量知识、直线与抛物线的相交问题及代数运算能力．

20．（13分）（2010?湖北）已知数列{an}满足：

＜0（n≥1），数列{bn}满足：bn=an+1﹣an（n≥1）． （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式

（Ⅱ）证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．

【考点】数列递推式；数列的概念及简单表示法；等差数列的性质． 【专题】计算题；应用题；压轴题．

，anan+1

22

【分析】（1）对

2

化简整理得

，令cn=1

﹣an，进而可推断数列{cn}是首项为

2

，公比为的等比数列，根据等比数列通项公式

求得cn，则an可得，进而根据anan+1＜0求得an．

（2）假设数列{bn}存在三项br，bs，bt（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，由于数列{bn}为等比数列，于是有br＞bs＞bt，则只有可能有2bs=br+bt成立，代入通项公式，化简整理后发现等式左边为2，右边为分数，故上式不可能成立，导致矛盾．

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【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，令cn=1﹣an，则又故又

，anan+1＜0

2

，则数列{cn}是首项为

，公比为的等比数列，即

，

，

故

因为故

=，

（Ⅱ）假设数列{bn}存在三项br，bs，bt（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列， 由于数列{bn}是首项为，公比为的等比数列， 于是有2bs=br+bt成立，则只有可能有2br=bs+bt成立， ∴

化简整理后可得，2=（）

r﹣s

+（）

t﹣s

，

由于r＜s＜t，且为整数，故上式不可能成立，导致矛盾． 故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列．

【点评】本题主要考查了数列的递推式．对于用递推式确定数列的通项公式问题，常可把通过吧递推式变形转换成等差或等比数列．

21．（14分）（2010?湖北）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1． （1）用a表示出b，c；

（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求得切线的斜率，以及切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可；

（Ⅱ）先构造函数g（x）=f（x）﹣lnx=ax++1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞），利用导数研究

g（x）的最小值，讨论a的范围，分别进行求解即可求出a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）

，

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则有，

解得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令g（x）=f（x）﹣lnx=ax+

，

+1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞）

则g（1）=0，（i）当若

，

，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，

所以g（x）＜g（1）=0，f（x）＞lnx，故f（x）≤lnx在[1，+∞）上恒不成立． （ii）

时，

若f（x）＞lnx，故当x≥1时，f（x）≥lnx 综上所述，所求a的取值范围为

【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，分类讨论思想，属于基础题．

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