（完整版）2019届高考数学专题7立体几何第2讲综合大题部分增分强化练文

第2讲 综合大题部分

1．(2018·高考全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，

O为AC的中点．

(1)证明：PO⊥平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离． 解析：(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝23.

如图，连接OB.因为AB＝BC＝1

且OB⊥AC，OB＝AC＝2.

2由OP＋OB＝PB知，OP⊥OB.

由OP⊥OB，OP⊥AC知，PO⊥平面ABC. (2)如图，作CH⊥OM，垂足为H， 又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM. 故CH的长为点C到平面POM的距离．

1242

由题设可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°，

23325OC·MC·sin∠ACB45

所以OM＝，CH＝＝.

3OM545

所以点C到平面POM的距离为.

5

2．(2018·高考全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧

所在平面垂直，M是

上异于C，D的点．

2

2

2

2

AC，所以△ABC为等腰直角三角形， 2

(1)证明：平面AMD⊥平面BMC.

(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．

解析：(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD. 因为BC⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD， 故BC⊥DM. 因为M为

上异于C，D的点，且DC为直径，

所以DM⊥CM.

又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC. 而DM?平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC. (2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.

证明如下：连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．

连接OP，因为P为AM中点， 所以MC∥OP.

又MC?平面PBD，OP?平面PBD， 所以MC∥平面PBD.

3．(2018·高考全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA. (1)证明：平面ACD⊥平面ABC；

2

(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q-ABP的体积．

3

解析：(1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC. 又BA⊥AD， 所以AB⊥平面ACD. 又AB?平面ABC， 所以平面ACD⊥平面ABC. (2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，

DA＝32.

2

又BP＝DQ＝DA，

3所以BP＝22.

如图，过点Q作QE⊥AC，垂足为E， 1

则QE綊DC.

3

由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC， 所以QE⊥平面ABC，QE＝1. 因此，三棱锥Q-ABP的体积为

VQ-ABP＝×S△ABP×QE＝××3×22sin 45°×1＝1.

4．如图，在多面体ABCPE中，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥BC,2PE＝BC，M是线段AE的中点，N是线段PA上一点，且满足AN＝λAP(0<λ<1)．

131312

1

(1)若λ＝，求证：MN⊥PC；

2

(2)是否存在λ，使得三棱锥M -ACN与三棱锥B -ACP的体积比为1∶12？若存在，求出

λ的值；若不存在，请说明理由．

1

解析：(1)证明：若λ＝，则N是线段PA的中点．

2因为平面PAC⊥平面ABC， 平面PAC∩平面ABC＝AC，AC⊥BC，

BC?平面ABC，

所以BC⊥平面PAC.

因为M是线段AE的中点，N是线段PA的中点， 所以MN∥PE，

又PE∥BC，所以MN∥BC， 所以MN⊥平面PAC.

因为PC?平面PAC，所以MN⊥PC.

1

(2)存在λ＝，使得三棱锥M -ACN与三棱锥B -ACP的体积比为1∶12.

3理由如下：

由(1)知，BC⊥平面PAC，

1

所以三棱锥B -ACP的体积VB -ACP＝S△ACP·BC，

3因为M是线段AE的中点，

所以点M到平面ACP的距离等于点E到平面ACP的距离的一半，因为AN＝λAP(0<λ<1)，所以S△ACN＝λS△ACP，

又2PE＝BC，所以三棱锥M -ACN的体积

VM -ACN＝S△ACN·(PE)＝λS△ACP·(BC)＝λS△ACP·BC.

因为三棱锥M -ACN与三棱锥B -ACP的体积比为1∶12， 1

λS△ACP·BC1211所以＝，解得λ＝.

1123S△ACP·BC3

13121314112