必修四课后作业18

一、选择题

1．(2014·亳州高一检测)下列叙述正确的个数是( ) (1)若k∈R，且kb＝0，则k＝0或b＝0. (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.

(3)若不平行的两个非零向量a，b，满足|a|＝|b|，则(a－b)(a＋b)＝0.

(4)若a，b平行，则a·b＝|a||b|. A．0 C．2

B．1 D．3

【解析】 因为a·b＝|a|·|b|·cos θ(θ为向量a与b的夹角) 若a·b＝0，则有|a|＝0或|b|＝0或cos θ＝0，

即a＝0或b＝0或a⊥b，故(2)错误；又因为a∥b时，a与b夹角可能为0或π所以a·b＝|a|·|b|或－|a|·|b|，故(4)错；只有(1)(3)正确．

【答案】 C

2．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为( )

A．2 C．6

B．4 D．12

【解析】 ∵(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2 ＝|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2 ＝|a|2－2|a|－96＝－72， ∴|a|2－2|a|－24＝0， ∴|a|＝6.

【答案】 C

3．(2014·玉溪高一检测)已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是

( )

π????0，A.6? ?

?π2?C.?3，3π? ?

?

?π??，πB.3? ???π?D．?6，π?

?

?

【解析】 因为Δ＝a2－4|a|·|b|cos θ(θ为向量a与b夹角) 若方程有实根，则有Δ≥0即a2－4|a|·|b|cos θ≥0， 又|a|＝2|b|，

∴4|b|2－8|b|2cos θ≥0， 1

∴cos θ≤2，又0≤θ≤π， π

∴3≤θ≤π. 【答案】 B

→→

4．△ABC中，AB·AC＜0，则△ABC是( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形

B．直角三角形 D．等边三角形

→→→→【解析】 ∵AB·AC＝|AB||AC|cos A＜0，

∴cos A＜0.∴A是钝角．∴△ABC是钝角三角形． 【答案】 C

5．点O是△ABC所在平面上一点，且满足OA·OB＝OB·OC＝OA·OC，则点O是△ABC的( )

A．重心

B．垂心

→→→→→→C．内心

【解析】 ∵OA·OB＝OB·OC， ∴OB·(OA－OC)＝0， 即OB·CA＝0，则OB⊥CA. 同理OA⊥BC，OC⊥AB. 所以O是△ABC的垂心． 【答案】 B 二、填空题

D．外心

→→→→→→→→→→→→→→→6．已知|a|＝8，e为单位向量，a与e的夹角为150°，则a在e方向上的投影为________．

?3?【解析】 a在e方向上的投影为|a|cos 150°＝8×?－?＝－43.

2??

【答案】 －43

7．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于________．

【解析】 ∵(3a＋2b)⊥(λa－b) ∴(λa－b)·(3a＋2b)＝0， ∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0. 又∵|a|＝2，|b|＝3，a⊥b，

∴12λ＋(2λ－3)×2×3×cos 90°－18＝0， ∴12λ－18＝0， 3

∴λ＝2. 3

【答案】 2 8．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a与b的夹角为60°，则实数m＝________.

【解析】 ∵3a＋mb＋7c＝0，∴3a＋mb＝－7c， ∴(3a＋mb)2＝(－7c)2， 化简得9＋m2＋6ma·b＝49.

1

又a·b＝|a||b|cos 60°＝2，∴m2＋3m－40＝0，

解得m＝5或m＝－8. 【答案】 5或－8 三、解答题

9．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.

【解】 ①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18；若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，

∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18. ②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°， ∴a·b＝0.

③当a与b的夹角是60°时， 1有a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6×2＝9. 10．已知向量a、b的长度|a|＝4，|b|＝2. (1)若a、b的夹角为120°，求|3a－4b|； (2)若|a＋b|＝23，求a与b的夹角θ. 【解】 (1)a·b＝|a||b|cos 120°

?1?

＝4×2×?－2?＝－4.

?

?

又|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2 ＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304， ∴|3a－4b|＝419.

(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 ＝42＋2a·b＋22＝(23)2，

a·b－41∴a·b＝－4，∴cos θ＝＝＝－2.

|a||b|4×22π

又 θ∈[0，π]，∴θ＝3. 11．已知a，b是两个非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取得最小值时，(1)求t的值(用a，b表示)；(2)求证：b与a＋tb垂直．

【解】 (1)|a＋tb|2＝a2＋t2b2＋2ta·b a·b?2?a·b?22

＝b?t＋b2?＋a－2. b??

2?

a·b

当t＝－2时，|a＋tb|取最小值．

b

a·b

(2)证明：(a＋tb)·b＝a·b＋tb2＝a·b－b2×b2＝0，所以a＋tb与b垂直.