固体能带理论

固体能带理论

（学号：1120120332 姓名：马英 ）

摘要：固体能带理论是凝聚态物理学的重要组成部分，在密度泛函理论基础上，对固体能带理论70年来的发展作简单的论述和分析，并阐述固体能带计算各种方法的物理原理及共典型应用。

关键词：固体、半导体、金属、单电子、准粒子、离子、晶体、应力

一、自由电子模型

在这个模型中，电子与电子，晶格与电子之间的相互作用被忽略.也可以这样说晶格对电子的影响视为平均势场

kk?Kn

索米菲理论：自由电子模型＋费米狄拉克分布 解释： 1.电子气热容量 2.电子发射

3.电子气的顺磁与逆磁效应 二、3个重要近似和周期性势场 绝热近似：由于原子核质量比电子的质量大得多，电子的运动速度远大于原子核的运动速度，即原子核的运动跟不上电子的运动。所以在考虑电子的运动时，认为原子实不动。 单电子近似：：一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动。又称hartree-Fock自洽场近似。

周期场近似：原子实和电子所形成的势场是周期性的。

周期性势场 ：单电子近似的结果：周期性势场（周期为一个晶格常数）。 3. Bloch波

（1）Bloch定理：在周期性势场中运动的电子，气波函数由如形式 ：

??? ik?r(r)?eu(r) 其中u具有晶格的周期性，即 22 ika

（2）Bloch波的性质

a.波函数不具有晶体周期性，而（k为实数时）电子分布几率具有晶格的周期性

?sx

112233

b.当k为虚数，描写电子的表面态，k＝is(s>0) ( x ? Na ) ? ( x )

(S小于0时无意义.)

ikNac. 周期边界条件：

?(x)??(x?a)??(x)?eu(x)|?(x)|?|?(x?a)|?|u(x)|2?????u(r)?u(r?na?na?na)?(x)?eu(x)???(x)?e?(x?Na)?T??(x) d. 波矢相差倒格矢整数倍的Bloch波等效.因此把波矢限制在第一布区内.且第一布区内的分立波矢数为晶体原胞数N可容纳的电子数为2N.

三、单电子近似下电子的能量状态. 2 电子满足的薛定谔方程： (???2?V(x))?(x)?E?(x) 2m

其中：V(x?na)?V(x)

??eikxu(x)

在克龙尼克—潘纳模型下： V0 ca?a?b0

周期运动中的离子许可能级形成能带.能带之间存在不许可能量范围称为禁带，且禁带位于布区边界. 关于能带的讨论：

1.在原理布区边界的区域内， 2V禁带电子的能量可粗略的视为

自由电子的能量. 2V ?2k22V E??2? 2maa

E2.在布区边界上，电子能量不连续，出现禁带，禁带的宽度为： gl?|2Vl|3.在同一能带中，能量最大的地方称为带顶，能量最小的地方称为带底，能量最大值与最小值之差称为能带宽度.带底附近能量曲线是一开口向上的小抛物线，带顶附近，能量曲线是一开口向下的小抛物线. 4.能量是k的周期函数，周期为倒格子矢量. 5.能量曲线的三种表示方法: （1）第一布区图 （2）扩展区图 2V禁带（3）周期区图

2V

2V ?2? aa 6.E为k的多值函数，以视区别 E s ( k ) 表示第s个能带的能量，而k表示在第?2??一布区中取值. ??a7.每个能带可容纳2N个电子，第一布区分立k的数目为N. ? ? N ? ?2????考虑自旋2N. ?Na?

a?b?c321321|?(x,t)|?u(x)e

四、费米面的构造

费米面是电子的占据态与非占据态之间的分界面.晶体（特别是导体）的许多性质决定于费米面附近电子的行为.因此费米面的形状十分重要。 构成费米面的步骤： 1.画出布区广延图

2.用自由电子模型画出费米球 3.用 E ( k ) ? E ( k ? K ) 的性质，将费米片断移到这一布区。

4.自由电子过渡到准自由电子，由于禁带出现在布区边界，费米面于布区相割处，将费米面锐处钝化。 五、狄哈斯—阿耳劳效应

1.现象：低温强场条件下，晶体的磁导率随 1/B 振荡 。

这些现象同费米面附近的电子在强磁场中的行为有关.因而与金属的费米面的结构有关.因此，此现象是研究晶体费米面的工具 . 2.解释：

a.磁场中电子应满足的schrodinger 方程及其解。 b.求状态密度：它与加了磁场后相邻圆之间（or每个圆上的简并度）相等。 3. 应用：用此效应确定晶体的费米面。 六、准经典近似

准经典近似是描写波的物理量与描写粒子的量（速度、加速度、质量间）的关系. 1dE k态电子的速度 v ? （ 一维） （三

k?dk维)

d ?0?()00dk ?k?kk?0k0?波包的波函数： 22

?(x)?uk(x)ei(kx??t)dk?uk0(x)ei(kx??t)dk ?k?kk0? k0?22

2

几率： 0i(kx??t)22200

k0 0 d?波包中心位置： x ? ( 0 t )1Bk?k??????1v??E????d???k?sin(x?()t)?2?dk(?k)???kd?(x?()t)??2dk??dk

波包速度： v?(d?)??dE0k dkdk

七、金属、半导体、绝缘体的能带结构、空穴的概念。

固体能带理论的主要贡献在于它成功的解释了物质的导电机理，即说明了有的物质为什么能导电，有的物质为什么不导电.虽然同样有大量的电子存在. 用能带理论解释导体、半导体、绝缘体：

1.导体能带特点：能带未被完全充满，或能带产生交迭

2.绝缘体：价电子刚好填满整个价带，而更高的许可带与价带之间存在着一个很大的禁带，除非很强的电场，否则电子不会被激发到许可带上去而导电。

3.半导体：能带结构基本上与绝缘体相似，只是禁带较窄（一般在2.0eV以下）依靠热激发就可以使电子跃迁到许可带上去而导电. 八、空穴。

1.概念：当满带顶附近产生p0个空态时,其余大量电子在外电场作用下所产生的电流,可等效为p0个具有正电荷q和正有效质量mp,速度为v(k)的准经典粒子所产生的电流.这样的准经典离子称为空穴.

空穴是一个准粒子，它带正电，因此晶体中导电的粒子有两种：（1）电子；（2）空穴. 2.特征：

（1）.荷电量与电子相等但符号相反,既荷+q.

（2).有效质量数值等于价带顶空态所对应的电子有效质量,但符号为正. (3).速度为价带顶空带所对应的电子速度. (4).浓度等于空态密度p0.

3.成因：半导体由于禁带较窄，电子只需不多的能量就能从价带激发到导带，从而在价带中留下空穴。

4.说明：空穴并不是真实存在的,只是对大量电子运动的一种等效,空穴的流动其实就是大量电子运动的等效的反运动。 九、应力。 1.概念：

a.材料发生形变时内部产生了大小相等但方向相反的反作用力抵抗外力，定义单位面积上的这种反作用力为应力（Stress）。

b.在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力（Stress）。 2.分类：

(1)按照应力和应变的方向关系，可以将应力分为正应力σ 和切应力τ，正应力的方向与应变方向平行，而切应力的方向与应变垂直。

(2)按照载荷（Load）作用的形式不同，应力又可以分为拉伸压缩应力、弯曲应力和扭转应力。

3.正应力（两个假设）。

（1）平面假设：当剪力随截面位置而变化时，纵向线段长度发生变化，从而引起附加的正应力。这就是平面假设所忽略的因素。但理论分析表明：当截面高度远小于跨度的时候，偏差是非常小的。

（2）纵向线段间无正应力：以均布载荷作用在悬臂梁上为例，可以得出纵向线

?1v??E?段间的最大正应力为（-q/b），与横截面上的正应力相比可以忽略不计了。

参考文献：

1.《固体物理导论》（原著第8版）基泰尔、项金钟、 吴兴惠著 化学工业出版社 (2011-02)

2.《半导体物理学》 (第7版) 刘恩科、朱秉升、 罗晋生著 电子工业出版社 (2011-03)

3.《固体物理学》 房晓勇、刘竞业、 杨会静著 哈尔滨工业大学出版社 (2010-03)