传染病问题研究(数学建模精讲)

传染病问题的研究

社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。本论文通过建立传染病模型，分析被传人数多少与哪些因素有关，如何预报传染病高潮的到来等等。

一﹑模型假设

1.在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N。人群分为以下三类：易感染者(Susceptibles)，其数量比例记为s(t)，表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者(Recovered)，其数量比例记为r(t)，表示t时刻已从染病者中移出的人数（这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。）占总人数的比例。

2.病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数λ，日治愈率（每天被治愈的病人占总病人数的比例）为常数μ，显然平均传染期为1／μ，传染期接触数为σ=λ／μ。该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。

二﹑模型构成

在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下：

s λsi i μi r 在假设1中显然有： s(t) + i(t) + r(t) = 1

对于病愈免疫的移出者的数量应为

Ndr??Ni dt不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为s0（s0＞0），i0（i0＞0），r0=0. SIR基础模型用微分方程组表示如下：

?di?dt??si??i??ds????si ?dt?dr?dt??i?s(t) ， i(t)的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计s(t) ， i(t)的一般变化规律。

三﹑数值计算

在方程（3）中设λ=1，μ=0.3，i（0）= 0.02，s（0）=0.98，用MATLAB软件编程： function y=ill(t,x) a=1;b=0.3;

y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)]; ts=0:50; x0=[0.20,0.98]; [t,x]=ode45('ill',ts,x0); plot(t,x(:,1),t,x(:,2)) pause

plot(x(:,2),x(:,1))

输出的简明计算结果列入表1。i(t) , s(t)的图形以下两个图形，i~s图形称为相轨线,初值i(0)=0.02,s(0)=0.98相当于图2中的P0点,随着t的增,(s,i)沿轨线自右向左运动.由表1、图1、图2可以看出,i(t)由初值增长至约t=7时达到最大值,然后减少,t→∞,i→0,s(t)则单调减少,t→∞,s→0.0398. 并分析i(t),s(t)的一般变化规律. t i(t) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0.0200 0.0390 0.0732 0.1285 0.2033 0.2795 0.3312 0.3444 0.3247 s(t) 0.9800 0.9525 0.9019 0.8169 0.6927 0.5438 0.3995 0.2839 0.2027 t i(t) 9 10 15 20 25 30 35 40 45 0 0.2863 0.2418 0.0787 0.0223 0.0061 0.0017 0.0005 0.0001 s(t) 0.1493 0.1145 0.0543 0.0434 0.0408 0.0401 0.0399 0.0399 0.0398 表1 i(t),s(t)的数值计算结果

四﹑相轨线分析

我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解i（t）,s（t）的性质。 D = ｛（s，i）| s≥0，i≥0 ， s + i ≤1｝ 在方程（3）中消去dt并注意到σ的定义，可得

di?1????1? i|s?s0?i0 （5） ds?sσ?is?1?1???1?ds ??di????1?ds （6） 所以：di??i0s0sσ?sσ???利用积分特性容易求出方程(5)的解为：i?(s0?i0)?s?1?lns （7） s0在定义域D内,(6)式表示的曲线即为相轨线,如图3所示.其中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向

下面根据(3),(17)式和图9分析s(t),i(t)和r(t)的变化情况(t→∞时它们的极限值分别记作

s?, i?和r?).