2017年全国高中联合竞赛竞赛一试（A卷）数学试题 Word版 含答案

2017年全国数学联合竞赛一试（A卷）

试 题

一、填空题：本大题共8小题,每小题8分,共64分.

1.设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x有f(x?3)??f(x?4)??1.又当

0?x?7时，f(x)?log2(9?x)，则f(?100)的值为________.

2.若实数x,y满足x?2cosy?1，则x?cosy的取值范围是________.

2x2y2??1，F为C的上焦点，A为C的3.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为

910右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是________.

5.正三棱锥P?ABC中，AB?1，AP?2,过AB的平面?将其体积平分，则棱PC与平面?所成角的余弦值为________.

6.在平面直角坐标系xOy中，点集K??x,y?x,y??1,0,1，在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为________.

7.在?ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.若?A???π，?ABC的面积为33，则AM?AN的最小值为________.

8.设两个严格递增的正整数数列?an?，?bn?满足：a10?b10?2017，对任意正整数n，有

an?2?an?1?an，bn?1?2bn，则a1?b1的所有可能值为________.

二、解答题 （本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

29. 设k,m为实数，不等式x?kx?m?1对所有x??a,b?成立.证明：b?a?22.

10.设x1,x2,x3是非负实数，满足x1?x2?x3?1，求?x1?3x2?5x3??x1?值和最大值.

??x2x3???的最小35?11.设复数z1,z2满足Re(z1)?0,Re(z2)?0，且Re(z1)?Re(z2)?2（其中Re(z)表示复数z的实部）.

（1）求Re(z1z2)的最小值；

（2）求z1?2?z2?2?z1?z2的最小值.

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2017年全国数学联合竞赛一试（A卷）

答 案

一、填空题

1.答案：?1. 21?f(x)，所以

f(x?7)111????. f(5)log242解：由条件知，f(x?14)??f(?100_?f(?100?14?7)?f(?2)??2.答案：?1,3?1.

解：由于x2?1?2cosy???1,3?，故x??3,3；

1?x21?x21?(x?1)2?1.因此当x??1时，由cosy?可知，x?cosy?x?222??π；当x?3时，x?cosy有最大值3?1x?cosy有最小值?1（这时y可以取）21（这时y可以取π）.由于（x?1)2?1的值域是?1,3?1，从而x?cosy的取值

2??范围是?1,3?1. 3.答案：

311 2??π0),F(0，1).设P的坐标是(3cos?,10sin?),??(0,）解：易知A(3，，则

211SOAPE?S?OAP?S?OFP??3?10sin???1?3cos?

223311?（10cos??sin?)?sin(???). 22