初三数学点，线圆和圆的位置关系

七、点和圆的位置关系

设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： dr?点P在⊙O外。 八、过三点的圆 1、过三点的圆

不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心

三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件） 圆内接四边形对角互补。 九、反证法

先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。 十、直线与圆的位置关系

直线和圆有三种位置关系，具体如下：

（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；

（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么： 直线l与⊙O相交?d

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直线l与⊙O相离?d>r； 十一、切线的判定和性质 1、切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2、切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径。 十二、切线长定理 1、切线长

在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 2、切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 十三、三角形的内切圆 1、三角形的内切圆

与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心

三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 十四、圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系

如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。 如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。 如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。 2、圆心距

两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。 3、圆和圆位置关系的性质与判定

设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么 两圆外离?d>R+r

两圆外切?d=R+r

两圆相交?R-rr） 两圆内含?dr） 4、两圆相切、相交的重要性质

如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 十五、正多边形和圆 1、正多边形的定义

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 2、正多边形和圆的关系

只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

十六、与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心

正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径

正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距

正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角

正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 十七、正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性

正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

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2、正多边形的中心对称性

边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法

先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 十八、弧长和扇形面积 1、弧长公式

n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l?2、扇形面积公式

S扇?n360n?r180

?R2?12lR

其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。 3、圆锥的侧面积

S?12l?2?r??rl

其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。 2、弦切角定理

弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。 弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。 即：∠BAC=∠ADC

3、切割线定理

PA为⊙O切线，PBC为⊙O割线，

则PA2?PB?PC 圆中常用辅助线的添法

（1）见弦作弦心距（2）见直径作圆周角（3）见切线作半径（4）两圆相切作公切线（5）两圆相交作公共弦

24.2.1 点和圆的位置关系

一、课前预习 (5分钟训练)

1.已知圆的半径等于5 cm，根据下列点P到圆心的距离：(1)4 cm；(2)5 cm；(3)6 cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由.

2.点A在以O为圆心，3 cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是________. 3.若⊙A的半径为5，点A的坐标为(3，4)，点P的坐标为(5，8)，则点P的位置为( )

A.在⊙A内 B.在⊙A上 C.在⊙A外 D.不确定 4.两个圆心为O的甲、乙两圆，半径分别为r1和r2，且r1＜OA＜r2，那么点A在( )

A.甲圆内 B.乙圆外 C.甲圆外，乙圆内 D.甲圆内，乙圆外 二、课中强化(10分钟训练)

1.已知⊙O的半径为3.6 cm，线段OA=

257的有_________.

图24-2-1-1

24.2.2 直线和圆的位置关系

一、课前预习 (5分钟训练)

1.已知Rt△ABC的斜边AB=6 cm,直角边AC=3 cm.

(1)以C为圆心，2 cm长为半径的圆和AB的位置关系是_________； (2)以C为圆心，4 cm长为半径的圆和AB的位置关系是_________； (3)如果以C为圆心的圆和AB相切，则半径长为_________. 2.三角形的内心是三角形_______________的交点.

3.⊙O的半径r=5 cm，点P在直线l上，若OP=5 cm，则直线l与⊙O的位置关系是( )

A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交

4.设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是( )

cm，则点A与⊙O的位置关系是( )

A.d=3 B.d≤3 C.d＜3 D.d＞3 二、课中强化(10分钟训练)

1.如图24－2－2－1,已知∠AOB=30°,M为OA边上一点,以M为圆心、2 cm为半径作⊙M.若点M在OA边上运动,则当OM=_______________ cm时,⊙M与OB相切.

A.A点在圆外 B.A点在⊙O上 C.A点在⊙O内 D.不能确定

2.⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)，则点P与⊙O的位置关系是( )

A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.点P在⊙O上或⊙O外 3.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4 cm，D是AB边的中点，以C为圆心，4 cm长为半径作圆，则A、B、C、D四点中在圆内的有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.如图24-2-1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2 cm，BC=4 cm，CM为中线，以C为圆心，5 cm为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有_________，在圆上的有_________，在圆内

图24－2－2－1

2.⊙O的半径为R，直线l和⊙O有公共点，若圆心到直线l的距离是d，则d与R的大小关系是( )

A.d＞R B.d＜R C.d≥R D.d≤R

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3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C为圆心作⊙C和AB相切，则⊙C的半径长为( )

A.8 B.4 C.9.6 D.4.8

4.⊙O内最长弦长为m，直线l与⊙O相离，设点O到l的距离为d，则d与m的关系是( )

A.d=m B.d＞m C.d＞

m2连结_____________________________. 求证：____________=CE. 证明：

8.如图24－2－2－4,延长⊙O的半径OA到B,使OA=AB,DE是圆的一条切线,E是切点,过点B作DE的垂线,垂足为点C. 求证:∠ACB=

13 D.d＜

m2

5.以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为( )

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形

6.如图24－2－2－2，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B.如果OP=4，PA=23，那么∠AOB等于( )

∠OAC.

图24－2－2－2

A.90° B.100° C.110° D.120°

7.已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、D、B三点，CB的延长线交⊙O于点E(如图24－2－2－3(1)).

在满足上述条件的情况下，当∠CAB的大小变化时，图形也随着改变(如图24－2－2－3(2))，在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系.

一、课前预习 (5分钟训练)

1.圆和圆有五种不同的位置关系，它们是__________、__________、__________、__________、__________.

2.两圆相切是指这两个圆__________或__________两种.

3.已知半径为1厘米的两圆外切，半径为2厘米且和这两圆都相切的圆共有__________个.

24.2.3 圆和圆的位置关系

图24－2－2－4

4.已知⊙O的半径为5 cm，⊙O1的半径为3 cm，两圆的圆心距为7 cm，则它们的位置关系是( )

图24－2－2－3

观察上述图形，连结图24－2－2－3(2)中已标明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段CE相等；

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A.相交 B.外切 C.相离 D.内切 5.下列命题中正确的是( )

A.如果两条直线被第三条直线所截,那么内错角一定相等

B.如果一个四边形的对角线互相垂直,那么这个四边形一定是菱形

C.如果两个圆的圆心距等于它们的半径之和,那么这两个圆一定有三条公切线 D.如果两个等圆不相交,那么这两个等圆一定外离 二、课中强化(10分钟训练)

1.三角形三边长分别为5厘米、12厘米、13厘米，以三角形三个顶点为圆心的三个圆两两外切，则此三个圆的半径分别为____________.

2.已知关于x的一元二次方程x２－2(R＋r)ｘ＋d２=０没有实数根，其中R、r分别为⊙Ｏ１、⊙Ｏ

２

回答下列问题：

(1)边长为1 cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是________ cm; (2)边长为1 cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是________ cm; (3)边长为2 cm，1 cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是________ cm，这两个圆的圆心距是________ cm.

3.如图24－2－2－5，已知同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E.求证：CD是小圆的切线.

的半径，ｄ为两圆的圆心距，则⊙Ｏ１与⊙Ｏ２的位置关系是( ) A.外离 B.相交 C.外切 D.内切

3.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为1和5，圆心距为3，则两圆的位置关系是( )

A.相交 B.内含 C.内切 D.外切

4.一个等腰梯形的高恰好等于这个梯形的中位线.若分别以这个梯形的上底和下底为直径作圆，这两个圆的位置关系是( )

A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 5.如果两圆的半径分别为3和4,圆心距为5,那么这两个圆的位置关系是( )

A.外离 B.相交 C.外切 D.内切

课后巩固练习：

1、已知Rt△ABC的两直角边为a和b，且a、b是方程x2-3x＋1=0的两根，求Rt△ABC的外接圆面积.

2..阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖.

如图24-2-1-3(1)中的三角形被一个圆所覆盖，图24-2-1-3(2)中的四边形被两个圆所覆盖.

图24－2－2－7

5.如图24－2－2－8所示，已知AB为⊙O的直径，C、D是直径AB同侧圆周上两点，且弧CD=

图24－2－2－5

4.已知如图24－2－2－7所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD＋BC=AB，以AB为直径作⊙O，求证：⊙O和CD相切.

弧BD，过D作DE⊥AC于点E，求证：DE是⊙O的切线.

图24-2-1-3

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图24－2－2－8