广州市育才中学2008-09学年第二学期高二理科数学测试题(必修2+选修2-1)

一、选择题（本题共有10小题，每小题5分，共50分）

题号 选项 1 C 2 C 3 A 4 A 5 A 6 D 7 B 8 B 9 C 10 D

二、填空题（本题共有4小题，每小题5分，共20分）

11、12? 12、325 13、y2??8x或x2??y 14、 35

三、解答题(本大题有6小题，满分80分。解答题应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)

解答题每小题只给出了一种解法,其它解法请参照给分 15.（本小题满分12分） 解： 由 ??x?y?1?0?x??2??

?3x?y?7?0?y?1即两直线的交点坐标是（-2，1） ……6分

直线x?y?1?0的斜率为1，由已知所求直线的斜率为-1 ……8分 则所求直线的方程为：y?1??1(x?2)即x?y?1?0 ……12分

16.（本小题满分12分）

解：设圆C的方程为：x?y?Dx?Ey?F?0……3分

22?1?1?D?E?F?0?则?1?25?D?5E?F?0?4?4?2D?2E?F?0?2?D??2???E??4……9分 ?F??4?2A1 B1 D1 C1 所求圆C的方为：x?y?2x?4y?4?0 ……12分 17. （本小题满分14分） （Ⅰ）解：由CE?11CC1＝， 42B A F O E D C ∴VC?BDE?VE?BCD ……2分

11111CE???1?1??. …… 6分 ?S?BCD?332212BB?C（Ⅱ）证明：连AC，∵AB1C．

D?AC，∴B．∵A1A?底面ABCD，∴BD?AA1．

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∵A1A?AC?A，∴BD?平面A1． ……9分 1AC． ∴BD?AC∵tan?BB1C?CE1BC1?，∴?BB1C??CBE． ?，tan?CBE?CB2B1B2??∵?BBC1C． 1??BCB1?90，∴?CBE??BCB1?90．∴BE?B∵BE?A1B1，A1B1?B1C?B1，∴BE?平面A1． ……12分 1BC1． ∴BE?AC∵BD?BE?B，BE?平面BDE,BD?平面BDE,∴AC?平面BDE．……14分 1 证法二：以点A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，则B?1,0,0?、D?0,1,0?、E?11，，?、A1?0，0，2?、C?1,1,0?，

??1?2???????????????1?，BD??1,1,0,BE?0,1,?AC?1,1,?2??????． ……8分 12????????????ACBD??1,1,?2????1,1,0??1???1??1?1???2??0?0， 1??????????1?1?A1C?BE??1,1,?2??0,1,?1?0?1?1??2????0，……10分 ??2?2????????????????????AC?BD,AC?BE．?A1C?BE，A1C?BD．……12分 11?BE?BD?B，BE?平面BDE，ED?平面BDE， ?A1C?平面BDE． ……14分

18. （本小题满分14分）

?解法一：（Ⅰ）∵?ACB?90，∴BC?AC．

∵三棱柱ABC?A1B1C1为直三棱柱，∴BC?CC1． ∵AC?CC1?C，∴BC?平面ACC1A1． ∵A1D?平面ACC1A1，∴BC?A1D，而BC在Rt?ACC1中，tan?AC1C??B1C1，则B1C1?A1D．……4分

AC32， ??CC1266DC12?2， ??在Rt?DC1A1中，tan?DAC11AC2311 共 9 页 第 6 页

∴?AC1C??DAC11．同理可得，?CAC1??C1DA1． （或：在Rt?ACC1与Rt?DC1A1中，∵

AC?DC136C1C， ?2??63AC112∴Rt?ACC1～Rt?DC1A1，∴?AC1C??DAC） 11，?CAC1??C1DA1．

?∵?AC1C??CAC1?90?，∴?AC1C??C1DA1D?AC1．……6分 1?90．即A∵B1C1?AC1?C1，∴A1D?平面AB1C1． ……7分 （Ⅱ）如图，过C1作AB1的垂线，垂足为H，在平面ABB1内作GH?AB1交BB1于点G，连GC1，则?C1HG为二面角B?AB1?C1的平面角． ……9分

在Rt?AB1C1中，C1H?H C D B G B1 C1 A A1 AC1?B1C13?1310，??AB11010B1H?10GHB1HB1G15．∵Rt?B1HG～Rt?B1BA，∴，则GH?，??10ABB1BB1A15642．在Rt?B1C1G中，求得C1G?． 66B1G?C1H2?GH2?C1G26在?C1HG中，由余弦定理，得cos?C1HG?． ??2C1H?GH6故二面角B?AB1?C1的余弦值为?6． ……14分 6?解法二：∵?ACB?90，∴BC?AC．

∵三棱柱ABC?A1B1C1为直三棱柱，∴BC?CC1． ∵AC?CC1?C，∴BC?平面ACC1A1． ……2分

以C为坐标原点，CB、CC1、CA所在的直线分别为

z A Ax轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则

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C B D BCy x

C?0,0,0?，B?1,0,0?，A0,0,3，C10,6,0，B11,6,0，A10,6,3，

?6?D?0,?2,0??． ……4分 ??????????????????6,?3?（Ⅰ）A1D??0,???，B1C1???1,0,0?，AB1?1,6,?3， 2?????????????????????∵ABCAB1?0， 1D?11?0，AD1??????????????????????????????∴A?AB1，即A1D?B1C1，A1D?AB1． 1D?BC11，AD1∵B1C1?AB1?B1，∴A1D?平面AB1C1． ……7分

??????n?AB1?0,??x?6y?3z?0,（Ⅱ）设n??x,y,z?是平面ABB1的法向量，由?????得?

??6y?0.?n?BB1?0.?取z?1，则n??3,0,1是平面ABB1的一个法向量． ……10分

????????6AD?0,?,?3又1????是平面AB1C1的一个法向量， ……12分 2???????且与二面角B?AB1?C1的大小相等．

??6,?3??3,0,1??????0,??????2AD1?n6?由cos=????． ?????632AD1?n?22??故二面角B?AB1?C1的余弦值为?19．（本小题满分14分）

6． ……14分 6解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，?3)，，(03)为焦点， 长半轴为2的椭圆．它的短半轴b?222?(3)2?1，

y2?1．……4分 故曲线C的方程为x?4易知：a?2,b?1，c?a2?b2?3，所以离心率e?（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足

c3? ．……5分 a2 共 9 页 第 8 页

?2y2?1，?x?消去y并整理得(k2?4)x2?2kx?3?0，……7分 4??y?kx?1.?故x1?x2??????????OA?OB，即x1x2?y1y2?0．而y1y2?k2x1x2?k(x1?x2)?1，

33k22k2?4k2?1???1?2?0．……10分 于是x1x2?y1y2??2k?4k2?4k2?4k?42k3，xx??．……8分 12k2?4k2?4????????1所以k??，此时OA?OB．……11分

21412当k??时，x1?x2??，x1x2??．……12分

21717??????AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(1?k2)(x2?x1)2，

424?343?13?而(x2?x1)?(x2?x1)?4x1x2?2?4?， 217171722?????465所以AB?．……14分

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