高数章节测试题(1)

高数章节测试题（一）

一、填空题（每题2分，共20分）

1、微分方程x3(y??)4?yy??0的阶数为（ B ） A．1 B． 2 C．3 D．4

2、下列函数中是方程y???y??0的通解的是（D ）．

A．y?C1sinx?C2cosx B．y?Ce?x C．y?C D．y?C1e?x?C2 3、函数z?lnxy的定义域为（ D ）

A x?0,y?0 B x?0,y?0或x?0,y?0 C x?0,y?0 D x?0,y?0或x?0,y?0 4、函数z?sinxy在（0，1）处的全微分dz?（ A ）．

A．dx． B．dy． C．?dx． D．?dy 5、设D为x2?y2?1，二重积分

． ??dxdy=（ A ）

DA．?． B．2?． C．6、如果e?e?xy?0，则

yx21?． D．?． 32dy?( A ). dxex?yex?yex?xex?xA. y； B. y； C. y； D. y .

e?xe?xe?ye?y7、若正项级数

1?pn?1n? 收敛，则（ A ）．

A．

p＞1． B．p≥1． C．p＜1． D．p≤1．

xyz??与平面3x?2y?7z?8的关系是（ A ） 8、直线3?27A.垂直 B.相交但不垂直 C.直线在平面上 D. 平行

9、下列级数中发散的级数是（C ）

???111(?1)nA．?． B．?． C．? ． D．?n．

nnn?1n(n?1)n?1n?12n?1?10、交换积分A C

?a0dy?f(x,y)dx(a为常数）的次序后得（ B ）

0y??y0adx?f(x,y)dy B

0a??a0adx?f(x,y)dy

xa0dx?f(x,y)dy C

0x0dx?f(x,y)dy

0??y二、填空题（每题2分，共20分）

1、设a?(1,1,0)，b?(1,0,1)，则数量积a?b= 1 ．

??1,?1,k}与b?{2,?2,?1}相互垂直则k? 4 . 2、向量a?{3、微分方程y??cosx?1的通解为y?sinx?x?c．

4、设2为方程y???py??qy?0的特征方程的二重根，则其通解为(c1?c2x)e2x．

ln(x?ey)5、lim2=ln2. 2x?1x?yy?0?2z6、设z?xy?xy，则2? 6xy5?2y．

?x3527、若级数

?un?1?n收敛，则limunn??? 0 。

xn8、幂级数?的收敛半径R＝ 1

n?1n?1?9、过点(4,?1,3)且平行于直线

x?3yz?1x?4y?1z?3????的直线方程为. 21521522D?(x,y)|x?y?4，则1dxdy=4? 10、若区域??D??三、计算题（每题6分，共30分） 1、求微分方程

dy?y?x满足y(0)?0的特解. dx?(?1)dx??(?1)dxdx?C?--------------------------------------------------------(3分) y?e?xe??????ex[?xe?xdx?C]=?Cex?x?1．-----------------------------------------------(5分)

代入y(0)?0，得C＝1

∴特解为y?e?x?1.--------------------------------------------------------------------(6分)

x2、求过点(3,0,?1)且与平面3x?7y?5z?12?0平行的平面方程。 解 平面的法向量n?(3,?7,5)，又平面过点(3,0,?1)， 所以平面方程为3(x?3)?7(y?0)?5(z?5)?0 即 3x?7y?5z?34?0。 3、设z?uv?1,u?e,v?t，求解

t?dz. dtdz?zdu?zdv????----------------------------------------------------------------------(3分) dt?udt?vdt?vet?et?(t?1)et．----------------------------------------------------------------(6分)

4、计算二重积分I???xydxdy，其中D是由x?1,y?x及y?2所围成的闭区域.

D221x解I???xydxdy??dx?xydy---------------------------------------------------------(3分)

D21=

?x3(2x?)dx-----------------------------------------------------------------------(5分)

2=1．---------------------------------------------------------------------------------------(6分)

nx2x3n?1x??L?(?1)?L的收敛半径和收敛域。 5、求幂级数x?23n181a1n?1?1解：因为 ??limn? （2分） ?limn??an??1nn所以收敛半径 R?1?1 （3分） ?1?..., n对于端点x?1，级数成为交错级数

????...(1?) 11123n?1由莱布尼茨定理可知级数收敛。 （5分）

对于端点x?1，级数成为

1??...??..., 级数发散。 ??因此，收敛域是(?1,1]。 （6分） 四、解答题（每题10分，共20分）

11231n1、求函数f(x,y)?4(x?y)?x2?y2 的极值。

?fx(x,y)?4?2x?0解：解方程组?求得驻点(2,?2)。 （4分）

?fy(x,y)??4?2y?0 由A?fxx??2,B?fxy?0,C?fyy??2

得 ??AC?B2?4 （6分）

(2,?2)在点(2,?2)处，有?

?4?0

所以点(2,?2)是极值点。

又A??2?0知，函数在点(2,?2)处有极大值2、判别下列级数的敛散性：

f(2,?2)?8 （10分）

(1)?(?1)n?1?n?11n2(2)?nn n?13?

解（1）因为级数是一交错级数，且满足

un?lim（1）limn??n??111?0，（2）un?。 （3分） ?un?1?nnn由莱布尼茨定理，知级数收敛。

(n?1)2n?1u1n?121（2） limn?1?lim32?lim()??1 （8分）

n??un??n??n3n3n3n?n由比值审敛法知，级数?n收敛。

n?13

五．应用题（10分）

某厂要用铁板做成一个体积是2m的有盖长方体水箱。问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？

解：设水箱的长为x米，宽为y米，则高为

3

2米。此水箱所用材料的面积为 xyA?2(xy?y?2222?x?)?2(xy??) (x?0,y?0 )xyxyxy令Ax?2(y?22)?0,A?2(x?)?0，解得x?32,y?32. y22xy根据题意可知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，又函数在定义域内只有唯一的驻点

(32,32)，因此可断定当x?32,y?32时，A取得最小值，即当水箱的长为32米，宽为32米，高为32米时，水箱所用材料最省。