山东省莱芜市2014年中考数学试卷

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考点： 一元二次方程的应用；一元一次不等式组的应用． 分析： （1）设平均每年投资增长的百分率是x．根据2013年投资1000万元，得出2014年2投资1000（1+x）万元，2015年投资1000（1+x）万元，而2015年投资1210万元．据此列方程求解； （2）设2015年河道治污面积为a平方米，园林绿化面积为平方米，根据2015年河道治污及园林绿化总面积不少于35000平方米及河道治污费用不少于园林绿化费用的4倍列出不等式组，解不等式组即可． 解答： 解：（1）设平均每年投资增长的百分率是x． 由题意得1000（1+x）2=1210， 解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意舍去）． 答：平均每年投资增长的百分率为10%； （2）设2015年河道治污面积为a平方米，园林绿化面积为平方米， 由题意，得， 由①得a≤25500， 由②得a≥24200， ∴24200≤a≤25500， ∴968万≤400a≤1020万， ∴190万≤1210万﹣400a≤242万， 答：园林绿化的费用应在190万～242万的范围内． 点评： 本题考查了一元二次方程及一元一次不等式组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的关系，列出方程或不等式组．

23．（10分）（2014?莱芜）如图1，在⊙O中，E是弧AB的中点，C为⊙O上的一动点（C与E在AB异侧），连接EC交AB于点F，EB=

（r是⊙O的半径）．

（1）D为AB延长线上一点，若DC=DF，证明：直线DC与⊙O相切； （2）求EF?EC的值；

（3）如图2，当F是AB的四等分点时，求EC的值．

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考点： 圆的综合题． 专题： 综合题． 分析： （1）连结OC、OE，OE交AB于H，如图1，由E是弧AB的中点，根据垂径定理的推论得到OE⊥AB，则∠HEF+∠HFE=90°，由对顶相等得∠HFE=∠CFD，则∠HEF+∠CFD=90°，再由DC=DF得∠CFD=∠DCF，加上∠OCE=∠OEC，所以∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，于是根据切线的判定定理得直线DC与⊙O相切； （2）由弧AE=弧BE，根据圆周角定理得到∠ABE=∠BCE，加上∠FEB=∠BEC，于是可判断△EBF∽△ECB，利用相似比得到EF?EC=BE2=（r）2=r2； （3）如图2，连结OA，由弧AE=弧BE得AE=BE=r，设OH=x，则HE=r﹣x，根据勾股定理，在Rt△OAH中有AH2+x2=r2；在Rt△EAH中由AH2+（r﹣x）2=（r）2，222利用等式的性质得x2﹣（r﹣x）=r﹣（r），即得x=r，则HE=r﹣r=r，在Rt△OAH中，根据勾股定理计算出AH=点，所以HF=AH=中的结论可计算出EC． ，由OE⊥AB得AH=BH，而F是AB的四等分r，然后利用（2），于是在Rt△EFH中可计算出EF=解答： （1）证明：连结OC、OE，OE交AB于H，如图1， ∵E是弧AB的中点， ∴OE⊥AB， ∴∠EHF=90°， ∴∠HEF+∠HFE=90°， 而∠HFE=∠CFD， ∴∠HEF+∠CFD=90°， ∵DC=DF， - 18 -

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∴∠CFD=∠DCF， 而OC=OE， ∴∠OCE=∠OEC， ∴∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°， ∴OC⊥CD， ∴直线DC与⊙O相切； （2）解：连结BC， ∵E是弧AB的中点， ∴弧AE=弧BE， ∴∠ABE=∠BCE， 而∠FEB=∠BEC， ∴△EBF∽△ECB， ∴EF：BE=BE：EC， ∴EF?EC=BE2=（r）2=r2； （3）解：如图2，连结OA， ∵弧AE=弧BE， ∴AE=BE=r， 设OH=x，则HE=r﹣x， 在Rt△OAH中，AH2+OH2=OA2，即AH2+x2=r2， 在Rt△EAH中，AH2+EH2=EA2，即AH2+（r﹣x）2=（r）2， ∴x2﹣（r﹣x）2=r2﹣（r）2，即得x=r， ∴HE=r﹣r=r， 在Rt△OAH中，AH=∵OE⊥AB， ∴AH=BH， 而F是AB的四等分点， ∴HF=AH=， ==， - 19 -

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在Rt△EFH中，EF=∵EF?EC=r2， ∴∴EC=r?EC=r2， r． ==r， 点评： 本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理及其推论、切线的判定定理和圆周角定理；会利用勾股定理进行几何计算，利用相似三角形的知识解决有关线段等积的问题．

24．（12分）（2014?莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点． （1）求抛物线的表达式；

（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．

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