2020年高考数学复习讲义一遍过13第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算(解析版)

题组二 教材改编

2．若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝________. 答案 2e

解析 ∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e. 3．曲线y＝1－

2

x＋2

在点(－1，－1)处的切线方程为____________． 答案 2x－y＋1＝0

解析 ∵y′＝2

?x＋2?2，∴y′|x＝－1＝2.

∴所求切线方程为2x－y＋1＝0. 题组三 易错自纠

4．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(

)

答案 D

解析 由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.

又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.

5．设f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x，则f′(0)＝________. 2

答案 －

3

2

解析 因为f′(x)＝－－2sin 2x，

3－2x2

所以f′(0)＝－. 3

6．(2017·天津)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________． 答案 1

1解析 ∵f′(x)＝a－，

x∴f′(1)＝a－1.

又∵f(1)＝a，∴切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)， ∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)． 令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.

题型一 导数的计算

xx

1－2cos2?，则f′(x)＝________. 1．已知f(x)＝sin ?4?2?1

答案 －cos x

2

xx1

－cos ?＝－sin x， 解析 因为y＝sin ?2?2?2111

－sin x?′＝－(sin x)′＝－cos x. 所以y′＝??2?222．已知f(x)＝ln 答案

4 4x2－1

2x－1

，则f′(x)＝________. 2x＋1

?2x－1?2x＋1??2x－1?′?2x＋1?－?2x－1??2x＋1?′?1?2x－1?

解析 y′＝?ln ·?′＝??′＝??＝22x＋12x＋1?2x＋1?2x－12x－1??????

2x＋1

4

. 24x－1

3．f(x)＝x(2 019＋ln x)，若f′(x0)＝2 020，则x0＝______. 答案 1

1

解析 f′(x)＝2 019＋ln x＋x·＝2 020＋ln x，

x由f′(x0)＝2 020，得2 020＋ln x0＝2 020，∴x0＝1. 4．若f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)＝________. 答案 －4

解析 ∵f′(x)＝2x＋2f′(1)， ∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2， ∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.

思维升华 1.求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错． 2．(1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导． (2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．

题型二 导数的几何意义

命题点1 求切线方程

2x＋1例1 (1)已知函数f(x＋1)＝，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为( )

x＋1A．1 C．2 答案 A

2x＋12x－11

解析 由f(x＋1)＝，知f(x)＝＝2－. xxx＋1

B．－1 D．－2