【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三上学期九模考试数学(理)试题(解析版)

【答案】 = 【解析】依题意知，在△ACD中，∠A=30°由正弦定理得AC=在△BCE中，∠CBE=45°，由正弦定理得BC=2

2

2

=3 在△ABC中，由余弦定理AB=AC+BC﹣2AC?BCcos∠ACB=10 ∴AB=．

．

故答案为：点睛：解决测量问题的注意事项

(1)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用． 15. 若两曲线【答案】 与存在公切线，则正实数的取值范围是__________．

【解析】设两个切点分别为,两个切线方程分别为,,化简得两条切线为同一条.可得, ,,令

，所以 ，填。 中，，，所以g(x)在递增，递减，。

16. 如图，在矩形.四边形上的射影为边长为2的正方形，现将矩形落在直线上，若点在折痕上射影为沿过点的，则动直线翻折，使翻折后的点在平面的最小值为 __________．

【答案】 【解析】由题意，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，则直线l的方程：

y=kx﹣2k+2，CC2=．..............................

，

直线CC2的方程为y=﹣x++6，∴C1（4+6k，0），∴CC1=6∴C1C2=CC2﹣CC1=6﹣．

∴=﹣1．

令|k﹣2|=t，∴k=t+2或2﹣t． ①k=t+2，=3（t++4）﹣1≥6+11，t=时，取等号；

②k=2﹣t，=3（t+﹣4）﹣1≥6﹣13，t=时，取等号；

综上所述，的最小值为6﹣13，

三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 已知是等比数列（1）求数列的前项和，成等差数列，且. 的通项公式；

？若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在，请说明理由.

（2）是否存在正整数，使得【答案】(1)【解析】试题分析：

(2) 存在，且的集合为 （1）直接由题意列方程组求出数列的首项和公比，则数列的通项公式可求；

（2）求出数列的前项和，由试题解析： （1）设等比数列的公比为,则，求得满足条件的的值，则的集合可求.

. 由题意得,即，解得. 故数列的通项公式为. （2）由（1）有若存在n,使得当n为偶数时，当n为奇数时，. ，则，上式不成立；

，即，即. ,则. 综上，存在符合条件的正整数n,且n的集合为点睛：本题考查了数列的综合问题，在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.本题的难点在于求和后，根据为奇数和偶数分类讨论.

18. 已知正三棱柱中，分别为的中点，设. （1）求证：平面（2）若二面角理由.

平面；

是否为直二面角，请说明的平面角为，求实数的值，并判断此时二面角

【答案】(1)见解析(2) 二面角为直二面角

【解析】试题分析：（1）先证CF⊥平面A1EF，即可证明：平面A1CF⊥平面A1EF；

（2）如图，以F为坐标原点，方向为轴，轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，求出，由定义则∠EFA1为二面角E﹣CF﹣A1的平面角，即可得出结论．

试题解析： （1）因为正三棱柱所以又所以故平面， 是正三角形，为，又，又平面中点， 平面. 方向为轴，轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，不妨设底边长 ， ， 则 ，令则由（1）可知故 为平面，计算可得：的一个法向量 ，

，

， ，所以平面，

所以平面（2）如图，以为坐标原点，，由题意，，设平面的法向量，，则由（1）可知由定义则，为二面角，

的平面角， ，，

此时由勾股定理：，