数值分析整理版试题及答案

??14x1?15x2?16x3?9???1x11?31?4x2?5x3?8

??1?2x1?x2?2x3?8解： 设

??111??456?10?u13?A??11????10????u11u12u23??345??l2110?0u?1??1???22?0u??LU 33????212??l31l32??0??则由A?LU的对应元素相等，有

u111?4，u?15，u?112136， l14121u11?3?l21?3，l31u11?2?l31?2，

l14??160，l1121u12?u22??u2221u13?u23?5?u23??45，

l?1?l1331u12?l32u2232??36，l31u13?l32u23?u33?2?u33?15

因此，

????111?100???456??A?LU??4?10???1??3??0?145? ?2?60?361???13???0015?????100???y1?解Ly?b，即?4?10????9???y2??8?，得y?9，y??4，y??154 ?3?2?361???y???123?3????8????111??456?解Ux?y，即?0?1???1???x1??9??6045?x2????4?，得x??177.69，x?476.92，?13??????x?3?????32??154???0015??所以，线性方程组的解为x1??227.08，x2?476.92，x3??177.69

x1??227.085

１、若A是n?n阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵U，使

A?LU唯一成立。 （ ）

２、当n?8时，Newton－cotes型求积公式会产生数值不稳定性。（ ）

i?13、形如的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精

确度的次数为2n?1。 （ ）

?af(x)dx??Aif(xi)bn?210???A??111??012???的２－范数A2＝９。４、矩阵（ ）

?2aa0???A??0a0??00a???，则对任意实数a?0，方程组Ax?b都是病态的。5、设（用

??） （ ）

6、设A?Rn?n，Q?R（ ）

n?nT，且有QQ?I（单位阵），则有A2?QA2。

7、区间?a,b?上关于权函数W(x)的直交多项式是存在的，且唯一。

（ ）1、（ Ⅹ ） 2、（ ∨ ） 3、（ Ⅹ ） 4、（ ∨ ） 5、（ Ⅹ ） 6、（ ∨ ）7、（ Ⅹ ） 8、（ Ⅹ ）

一、判断题（10×1′）

1、 若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。( × ) 2、 解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。 ( ? ) 3、 若A为n阶方阵，且其元素满足不等式

aii??aij (i?1,2,...,n)j?1j?in则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。 ( × ) 4、 样条插值一种分段插值。 ( ? ) 5、 如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。 ( ? ) 6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。 ( ? ) 7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。 ( × )

6

8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。 ( × ) 9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差。 ( ? ) 10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。 ( × )

10001. 用计算机求

?nn?111000时，应按照n从小到大的顺序相加。 （ ）

2. 为了减少误差,应将表达式2001?1999改写为2进行计算。 （ 对 ）

2001?19993. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ）

4. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与

常数项无关。 （ ）

复习试题

一、填空题：

???4?10?A????A???14?1?????0?14???1、，则A的LU分解为

0??1??4?1??154?A???141?1??????4151?5615??0???? 答案：

??????????????????。

2、已知f(1)?1.0,f(2)?1.2,f(3)?1.3，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得

?13f(x)dx?_________,用三点式求得f?(1)? 。

答案：2.367，0.25

23、f(1)??1,f(2)?2,f(3)?1，则过这三点的二次插值多项式中x的系数为 ，

拉格朗日插值多项式为 。

L2(x)?11(x?2)(x?3)?2(x?1)(x?3)?(x?1)(x?2)22

答案：-1，

4、近似值x*?0.231关于真值x?0.229有( 2 )位有效数字；

7

5、设f(x)可微,求方程x?f(x)的牛顿迭代格式是( )；

xn?1?xn?xn?f(xn)1?f?(xn)

答案

36、对f(x)?x?x?1,差商f[0,1,2,3]?( 1 ),f[0,1,2,3,4]?( 0 )；

7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；

8、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为

b?an?1( 2 )；

10、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?0度为( 5 )；

12、 解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均

不为零)。

y?10?346??x?1(x?1)2(x?1)3 的乘除法次数尽量地少，应将该表

1x?1 ，为了减少舍入误差，应将表达式

1f(x)dx≈(

?0113?13?1f(x)dx?[f()?f()]22323 )，代数精

13、 为了使计算

达式改写为

y?10?(3?(4?6t)t)t,t?2001?1999改写为 22001?1999 。

314、 用二分法求方程f(x)?x?x?1?0在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间

为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。 15、 计算积分?0.51xdx,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ，用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。

?3x1?5x2?1?16、 求解方程组?0.2x1?4x2?0的高斯—塞德尔迭代格式为

(k?1)(k)??(1?5x2)/3?x1?(k?1)(k?1)???x1/20 ，?x2该迭

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