2019版高考数学一轮复习 第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10.3 二项式定理课后作业 理 doc

2019版高考数学一轮复习 第10章 计数原理、概率、随机变量及其

分布 10.3 二项式定理课后作业 理

一、选择题

?21?6

1．(2018·广东测试)?x－?的展开式中，常数项是( )

2x??

551515

A．－ B. C．－ D. 441616答案 D

解析 Tr＋1＝C6(x)

44

6

r26－r?－1?r＝?－1?rCrx12－3r，?－1?令12－3r＝0，解得r＝4.∴常数项为?2x??2?6?2???????

15

C＝.故选D.

16

2．(2018·福建厦门联考)在?1＋x＋A．10 B．30 C．45 D．120 答案 C

解析 因为?1＋x＋??

2

的展开式中，x的系数为( ) ?x?20181?10

?

??＝??x??

2018105

1?10

＋x＋

1019110?1?＝(1＋x)＋C10(1＋x)2018＋…＋C10?2018??x?x?x?2018

2

2

2

2

1?10

10

，所以x只出现在(1＋x)的展开式中，所以含x的项为C10x，系数为C10＝45.故选C. 3．已知(1＋ax)(1＋x)的展开式中x的系数为5，则a＝( ) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 答案 D

解析 由二项式定理得(1＋x)的展开式的通项为Tr＋1＝C5·x，所以当r＝2时，(1＋

5

2

2

rr2121

ax)(1＋x)5的展开式中相应x2的系数为C2当r＝1时，相应x的系数为C5·a，所以C5＋C5·a5，

＝5，a＝－1，故选D.

4．(2018·河南百校联盟模拟)(3－2x－x)(2x－1)的展开式中，含x项的系数为 ( )

A．600 B．360 C．－600 D．－360 答案 C

解析 由二项展开式的通项公式可知，展开式中含x项的系数为3×C62(－1)－2×C6

2(－1)＝－600.故选C.

1?5?a??5．若?x＋??2x－?的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )

2

4

3

33

3

2

4

6

3

?x??x?

A．－40 B．－20 C．20 D．40 答案 D

解析 令x＝1，得(1＋a)(2－1)＝2，∴a＝1.

1?5??1?rr5－rr5－rr5－2r∴?2x－?的通项为Tr＋1＝C5·(2x)·?－?＝(－1)·2·C5·x.

5

?x??x?

令5－2r＝1，得r＝2.令5－2r＝－1，得r＝3.

∴展开式的常数项为(－1)×2·C5＋(－1)·2·C5＝80－40＝40.故选D.

232323

?x－1?n6．在?23?的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )

??x??

A．－7 B．7 C．－28 D．28 答案 B

解析 由题意知n＝8，

Tr＋1

＝C

r8

?x?·??

?2?

8－r?－1?·?3???x??

r＝(－1)·C

rr8

·

x8－r2

8－r·＝(－

1)·C8·

rr，

由8－r－＝0，得r＝6.

3

16

∴T7＝C8·2＝7，即展开式中的常数项为T7＝7.故选B.

2

21?21?99

7．(2018·石家庄模拟)若?x－?(a∈R)的展开式中x的系数是－，则?asinxdx的

ax?2??

0

r值为( )

A．1－cos2 B．2－cos1 C．cos2－1 D．1＋cos2

答案 A

解析 由题意得Tr＋1＝C9·(x)

r

29－r1?1?rrrr18－3r·(－1)·??＝(－1)·C9·x·r，令18－3r＝

ax??

a12132

9，得r＝3，所以－C9·3＝－，解得a＝2.所以?asinxdx＝(－cosx)0＝－cos2＋cos0＝1

a2?

0

－cos2.故选A.

8．设a∈Z，且0≤a<13，若51A．0 B．1 C．11 D．12 答案 D 解析 511＋a，

∵52

2018

2018

2018

＋a能被13整除，则a＝( )

＋a＝(52－1)

2018

＋a＝52

2018

＋C2018·52

12017

·(－1)＋…＋C2018×52×(－1)

20172017

＋

能被13整除，∴只需a＋1能被13整除即可，∴a＝12.故选D.

9

2

9

2

2

9

9．(2018·合肥质检)若(x＋2＋m)＝a0＋a1(x＋1)＋a2·(x＋1)＋…＋a9(x＋1)，且(a0

＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)＝3，则实数m的值为( )

A．1或－3

B．－1或3

C．1 答案 A

D．－3

9

解析 令x＝0，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)，令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m，所以有(2＋m)m＝3，即m＋2m＝3，解得m＝1或m＝－3.故选A.

9

99

9

2

?31???n的展开式中，第6项为常数项，则展开式中x－10．(2017·淮北模拟)已知在?3?

2x??

所有的有理项共有( )

A．5项 B．4项 C．3项 D．2项 答案 C

?n－r?－?－1?rx??r＝Cr解析 Tr＋1＝Cxn?3?2?3???

?2x?

rn1

，由第6项为常数项 ，得当r＝5时，

n－2r10－2r3

＝0，得n＝10.令＝k∈Z，则10－2r＝3k，即r＝5－k，故k应为偶数．又332

0≤r≤10，故k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.故第3项，第6项与第9项为有理项，故选C.

二、填空题

11．(2014·安徽高考)设a≠0，n是大于1的自然数，?1＋?的展开式为a0＋a1x＋a2x＋…＋anx.若点Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝________.

答案 3

1

C·＝3，??aa＝1，a＝3，a＝4，结合二项式定理得?1

C·??a＝4，

1

?

?

x?na?

2

nn解析 根据题意知

012

2

n2

即

8??n－1＝a，3?

??n＝3a，

2

解得a＝3.

12．若?ax＋?的展开式中x的系数为20，则a＋b的最小值为________．

x??

b?6

322

?

答案 2

解析 因为二项式?ax＋?展开后第k项为C6·(ax)

x??

2

b?6

k－127－k?

?b?k－1＝Ck－1a7－kbk－1x15－3k，

所以?x?6

??

2

2

当k＝4时，可得x的系数为20ab，即20ab＝20，得ab＝1.故a＋b≥2ab＝2，当且仅当

33333

a＝b＝1时等号成立，此时a2＋b2取得最小值2.

13．在(1＋x)(1＋y)的展开式中，记xy项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋

6

4

mnf(1,2)＋f(0,3)＝________.

答案 120

解析 ∵(1＋x)展开式的通项公式为Tr＋1＝C6x，(1＋y)展开式的通项公式为Th＋1＝C4

hrhyh，∴(1＋x)6(1＋y)4展开式的通项可以为Cr6C4xy.

6

rr4h∴f(m，n)＝C6C4.

∴f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝C6＋C6C4＋C6C4＋C4＝20＋60＋36＋4＝120. 1?n?14．(2017·江西赣州十四县联考)若?x＋?的展开式中前三项的系数分别为A，B，C，

?3x?且满足4A＝9(C－B)，则展开式中x的系数为________．

答案

56 27

2

3

21

12

3

mnCnnn－

解析 易得A＝1，B＝，C＝＝3918

n2

?n－n－n?，即n2－7n－8＝0，

，所以有4＝9??

?183?

r2

1?8??1?rC88－2rr8－r解得n＝8或n＝－1(舍)．在?x＋?中，因为通项Tr＋1＝C8x·??＝rx，令8－2r＝

?3x??3x?3562

2，得r＝3，所以展开式中x的系数为.

27

三、解答题

15．(2018·三亚模拟)已知fn(x)＝(1＋x). (1)若f2019(x)＝a0＋a1x＋…＋a2019x解 (1)因为fn(x)＝(1＋x)， 所以f2019(x)＝(1＋x)

2019

2019

n，求a1＋a3＋…＋a2017＋a2019的值；

6

(2)若g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，求g(x)中含x项的系数．

n，

2019

又f2019(x)＝a0＋a1x＋…＋a2019x，

2019

所以f2019(1)＝a0＋a1＋…＋a2019＝2，①

2019

f2019(－1)＝a0－a1＋…＋a2017－a2019＝0，②

①－②得2(a1＋a3＋…＋a2017＋a2019)＝2所以a1＋a3＋…＋a2017＋a2019＝2

2018

，

.

(2)因为g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，

所以g(x)＝(1＋x)＋2(1＋x)＋3(1＋x).

66

g(x)中含x6项的系数为C66＋2C7＋3C8＝99.

678

?1?n16．已知?＋2x?，

?2?

(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；

(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 解 (1)因为Cn＋Cn＝2Cn，所以n－21n＋98＝0，得n＝7或n＝14. 当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5. 353?1?43

∴T4的系数为C7??2＝，

2?2?

34

T5的系数为C47??2＝70.

2

4

6

5

2

?1???

当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，

7?1?77

∴T8的系数为C14??2＝3432.

?2?

(2)∵Cn＋Cn＋Cn＝79，∴n＋n－156＝0， ∴n＝12或n＝－13(舍去)． 设Tk＋1项的系数最大，

0122

?1?12?1?1212

∵?＋2x?＝??(1＋4x)， ?2??2?

??C124≥C124，∴?kkk＋1k＋1

?C124≥C124，?

kkk－1k－1

4752解得≤k≤.

55

∵k∈N，∴k＝10，∴展开式中系数最大的项为T11，

2101010

T11＝C1012·??·2·x＝16896x.

2

?1???