中考数学压轴题几何证明题必备

学习必备 欢迎下载

例题讲解

【例１】如图10，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F． FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF。 （1） 求证：ΔBEF∽ΔCEG． （2） 当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．

（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？ A

F

M

BxE

图10

解析过程及每步分值

所以?B??GCE,DCG1） 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以ABDG ············ 1分

?G??BFE

所以△BEF∽△CEG ························· 3分 （2）△BEF与△CEG的周长之和为定值． ················· 4分 理由一：

过点C作FG的平行线交直线AB于H ，

因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．所以 FH＝CG，FG＝CH 因此，△BEF与△CEG的周长之和等于BC＋CH＋BH

由 BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH＝6，

所以BC＋CH＋BH＝24 ·························· 6分 理由二：

H由AB＝5，AM＝4，可知

DA在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：

4343EF?BE,BF?BE,GE?EC,GC?CE，

55551212所以，△BEF的周长是BE， △ECG的周长是CE

55FBMxEGC又BE＋CE＝10，因此BEF与CEG的周长之和是24． ··········· 6分

学习必备 欢迎下载

43x,GC?(10?x) 551143622所以y?EFDG?x[(10?x)?5]??x2?x ········· 8分

2255255655121配方得：y??． (x?)2?256655所以，当x?时，y有最大值． ····················· 9分

6121最大值为． ······························ 10分

6

【例２】如图 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与坐标轴交于点A B C且OA＝

1 OB＝OC＝3 ．

（1）求此二次函数的解析式． （2）写出顶点坐标和对称轴方程．

（3）点M N在y＝ax2＋bx＋c的图像上(点N在点M的右边) 且MN∥x轴 求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径．

解析过程及每步分值

（3）设BE＝x，则EF?（1）依题意A(?1········ 1分 ，，0)B(3，，0)C(0，?3)分别代入y?ax?bx?c 解方程组得所求解析式为y?x?2x?3 ··················· 4分 （2）y?x?2x?3?(x?1)?4 ······················ 5分

2222?顶点坐标(1，?4)，对称轴x?1 ······················ 7分

（3）设圆半径为r，当MN在x轴下方时，N点坐标为(1?r，········ 8分 ?r)

把N点代入y?x?2x?3得r?2?1?17 ·················· 9分 2学习必备 欢迎下载

同理可得另一种情形r??1?17 2?圆的半径为

?1?171?17或 10分 22【例3】已知两个关于x的二次函数y1与当x?k时，y2?17；且二次函数y2的

图象的对称轴是直y2，y1?a(x?k)2?2(k?0)，y1?y2?x2?6x?12线x??1． （1）求k的值；

（2）求函数y1，y2的表达式；

（3）在同一直角坐标系内，问函数y1的图象与y2的图象是否有交点？请说明理由．

解析过程及每步分值

（1）由y1?a(x?k)2?2，y1?y2?x2?6x?12

得y2?(y1?y2)?y1?x2?6x?12?a(x?k)2?2?x2?6x?10?a(x?k)2． 又因为当x?k时，y2?17，即k2?6k?10?17， 解得k1?1，或k2??7（舍去），故k的值为1．

222（2）由k?1，得y2?x?6x?10?a(x?1)?(1?a)x?(2a?6)x?10?a，

所以函数y2的图象的对称轴为x??2a?6，

2(1?a)于是，有?2a?6??1，解得a??1，

2(1?a)22所以y1??x?2x?1，y2?2x?4x?11．

2（3）由y1??(x?1)?2，得函数y1的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(1，2)； 22由y2?2x?4x?11?2(x?1)?9，得函数y2的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标

为(?1，9)；

故在同一直角坐标系内，函数y1的图象与y2的图象没有交点．

学习必备 欢迎下载

【例4】如图,抛物线y?x?4x与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB

所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点. （1）求点A的坐标;

（2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;

（3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当

24?62?S?6?82时,求x的取值范围.

解析过程及每步分值

解：（1）∵y?x?4x?(x?2)?4 ∴A(-2,-4)

（2）四边形ABP1O为菱形时，P1(-2,4)

224) 548四边形ABP3O为直角梯形时，P1(?，)

55612四边形ABOP4为直角梯形时，P1(，?)

55四边形ABOP2为等腰梯形时，P1(，?（3） 25

由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线l的函数关系式是y=-2x