2020年上海市长宁区、嘉定区高考数学二模试卷(有答案解析)

∴直线QR的方程为y+y1=令y=0，得x=x1+

（x-x1）．

=1+m（

）

=my1+1+

=1+m?=1+2m?=4，

∴点N（4，0）． ∴|F2N|=4-1=3，

∴△QF2N面积S=|F2N|?|y2|=|y2|， ∵0＜|y2|≤当|y2|=

，

时，△QF2N面积最大，最大值为

．

解析：（1）根据椭圆的性质可得周长为4a，即可求出答案， （2）设P（x0，y0），求出直线AF，设M的坐标为（xM，yM），根据得xM=x0-，yM=y0，即可得到y0=-（x0-2），代入到+=1，整理即可求出

，可

（3）联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得P，Q的纵坐标的和与积，再求出N的坐标，写出三角形面积公式，即可求出． 本题考查椭圆方程的性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，向量的运算，直线方程，韦达定理，考查计算能力和转化能力，是中档题．

21.答案：（1）b1=-1，

，，b4=1；（2）λ=4，；（3）

证明略．

解：（1）∵an=2n-3n，

∴a1=-1，a2=-2，a3=-1，a4=4， ∴b1=-1，b2=-，b3=-，b4=1； （2）设

，可得a1=2-λ，a2=4-2λ，a3=8-3λ，

若b3=-3，可得λ＞0，由6-3λ=-6，可得λ=4； 由10-4λ=-6，可得λ=4；由12-5λ=-6，可得λ=， 若λ=4，可得a1=-2，a2=-4，a3=-4，满足题意；

λ=时，a1=-，a2=-，a3=-，可得b3=-，不符题意，舍去， 综上可得λ=4，

即有数列中的项为-2，-4，-4，0，12，40，…， 可得bn=

，n≥5，

则前n项和Sn=-10+（24+25+…+2n-1）-2（6+7+…+n+1） =-10+

-2?（（n-4）（6+n+1）

=2n-n2-3n+2；

（3）证明：充分性：

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若“数列{an}是等差数列”，设其公差为d， 则bn=bn+1=

，

=bn+，故“数列{bn}是等差数列”；

必要性：

若“数列{bn}是等差数列”，设其公差为d′， 则bn+1-bn=

-=

+

=d′，

根据定义，Mn+1≥Mn，mn+1≤mn，至少有一个取等号， 当d′＞0时，Mn+1＞Mn，an+1=Mn+1＞Mn≥an， 即数列{an}为增数列，则Mn=an，mn=a1， 则bn+1-bn=

-=

=d′，

即an+1-an=2d′，

即“数列{an}是等差数列”，

同理可得d′＜0时，“数列{an}是等差数列”；

当d′=0时，Mn+1=Mn，且mn+1=mn，故{an}为常数列，是等差数列．

综上可得：“数列{an}是等差数列”是“数列{bn}是等差数列”的充要条件．

解析：（1）分别计算出a1，a2，a3，a4结合题意即可得b1，b2，b3，b4的值；

（2）由新定义，可得λ＞0，考虑三种情况求得λ，检验可得所求λ；进而得到bn，由数列的分组求和，可得所求和；

（3）充分性易证，无论d为何值，始终有bn=

，即可证得结果，必要性须分类证

明．

本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查数列性质、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于难题．

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