圆锥曲线一题多解

求抛物线y?x2与直线x?y?2?0的最短距离.

解法一： 设抛物线上一点p?x0,y0?到直线l：x?y?2?0的距离为d，则

d?x0?y0?2220，

又y0?x?d?2222x0?x0?2?x0?x0?2 222?1?7??x0??? 2?2?42? 当x0?172时，dmin?. 28'解法二：已知直线l的方程为x?y?2?0，则平行于直线l且与抛物线相切的直线l的方程可设为x?y?b?0.

?y?x2 由??x?y?b?0'，得x?x?b?0.

2由于l与抛物线相切，故??1?4b?0，即b??1. 4? 直线l'的方程为x?y?1?11??0，其切点为p?,?. 4?24?11??27224? ?点P到直线x?y?2?0的距离d?82过点Q（4，1）作抛物线y?8x的弦AB，若弦恰被点Q平分，求弦AB所在的直线方程. 解法一：设以Q为中点的弦AB端点坐标为A?x1,y1?，B?x2,y2?，则有 ①y1?8x1，②y2?8x2，③x1?x2?8，④ y1?y2?2 ，⑤ k?将③，④代入（①—②）得?y1?y2??y1?y2??8?x1?x2?

222y1?y2.

x1?x2??y1?y2??4?x1?x2?

?y1?y2?4 ，?k?4

x1?x2?所求弦AB所在的直线方程为y?1?4?x?4?，即4x?y?15?0.

解法二：设弦AB所在的直线方程为y?k?x?4??1

?y2?8x由? 消去x得 ?y?k?x?4??1ky2?8y?32k?8?0

此方程的两根就是线段端点A,B的纵坐标，由根与系数的关系和中点坐标公式，得

8??y1?y2??k 得 k?4 ??y1?y2?2

? 所求弦AB所在的直线方程为4x?y?15?0.