三角函数知识点复习1111

性 tg(arctgx)=x(sin(arcsinx)=x恒等式 (x∈［-1，1］) arcsin(sinx)=x??(x∈［-2,2］) cos(arccosx)=x(x∈［-1,1］)arccos(cosx)=x(x∈［0,π］) x∈R)arctg(tgx)=x（x∈??(-2,2)） ctg(arcctgx)=x(x∈R)arcctg(ctgx)=x(x∈(0,π)) 互余恒等式 11.三角方程： (1)最简单三角方程的解集： 方 程 ｜a｜Φ ＞1 ｜a｜sinx=a =1 ｜a｜｛x｜x=kπ+(-1)karcsina,k∈z｝ ＜1 ｜a｜Φ ＞1 ｜a｜cosx=a =1 ｜a｜｛x｜x=2kπ±arccosa,k∈z｝ ＜1 ｛x｜x=2kπ+arccosa,k∈z｝ ｛x｜x=2kπ+arcsina,k∈z｝ 方程的解集 ?arcsinx+arccosx=2(x∈［-1,1］) ?arctgx+arcctgx=2(X∈R) tgx=a ctgx=a ｛x｜x=kπ+arctga,k∈z｝ ｛x｜x=kπ+arcctga,k∈z｝ (2)简单三角方程：转化为最简单三角方程。

三、知识点、能力点提示

三角函数是中学数学的主要内容之一，也是每年高考的必考内容，其主要内容由以下三部分构成：三角函数的定义，图像和性质；三角恒等变形；反三角函数。在高考中，第二部分为主要内容，进行重点考查，当然也不放弃前后两部的考查，对近几年高考试题进行分析后，可以看出：对三角函数的考查主要有两种方式：单独考查三角函数或与其它学科综合考查，前一部分通常是容易题或中等题，而后一部分有一定难度。

下面对常见考点作简单分析：

1.角、三角函数定义的考点：这是对三角基础知识的直接考查，一般不会单独成题，更多地是结合其它方面的内容(如：三角恒等变形，三角函数性质等)对多个知识点作综合考查。

2.三角函数图像的考查：通常有三种方式：由图像到解析式：由图像到性质；图像的应用。

3.三角函数性质的考查 (1)定义域和值域：

(2)周期性：通常结合恒等变形考查如何求三角函数的最小正周期，或考查与周期性相关的 问题，如：设f(x)是(-∞，+∞)上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)=( )

(3)单调性：通常以处理最值问题的形式出现，总与恒等变形联系在一起，一般地二次函数 ，对数函数等的最值问题相结合。

4.三角恒等变形：以化简、求值、证明等各种题型出现，以题中通常考查和、差、倍、半 各公式的运用，大题中通常考查和积互化公式的运用，这是三角函数的重要内容。

5.反三角函数：对这部分的考查多属于容易题或中档题，重点是反三角函数的定义和性质。

6.代数、三角、解几、立几，不等式等的综合考查。

进行三角恒等变形是处在三角问题最常用的技能，下面分析几种常见的解题思路：

1.角的变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少角的种类，化异角为同角。

2.函数名的变换：观察、比较题设与结论之间，等号的左右两边的函数名差异，化异名为同 名。

3??3.常数的变换：常用方式有1=sin2α+cos2α=sec2α-tg2α=tg4,2=sin3等。

4.次数的变化：常用方式是升次或降次：主要公式是二倍角的余弦公式及其逆向使用。

5.结构变化：对条件，结论的结构施行调整，或重新分组，或移项，或变除为乘，或求差等

6.和积互化：这既是一种基本技能，也是一种常见解题思路，且应用比较广泛。 7.综合运用上述各种方式。 例1 sin600°的值是( )

3311A.2 B.- 2 C.2 D.- 2

解：sin600°=sin(360°+240°)=sin240° =sin(180°+60°)=-sin60°

3 =-2

∴应选D.

1例2 已知sinθ+cosθ=5,θ∈(0,π),则ctgθ的值是_______.

1112解:sinθ+cosθ=5?(sinθ+cosθ)2=(5)2?sinθ·cosθ=-25.

112∴sinθ和cosθ是方程t2-5t-25=0, 即方程25t2-5t-12=0的两根.

4325t2-5t-12=(5t+3)(5t-4)=0的两根为t1=5,t2=-5.

∵θ∈(0.π)sinθ＞0.

43∴sinθ=5,从而cosθ=-5,

cos?3∴ctgθ=sin?.=-4. 3应填-4.

例3 tg20°+tg40°+3tg20°·tg40°的值是 .

tg20??tg40?解：∵3=tg60°=tg(20°+40°)=1?tg20?tg40?,

∴tg20°+tg40°=3(1-tg20°·tg 40°).

∴原式=3(1-tg20°·tg40°)+ 3 t g20°·tg40°

=3

应填3.

5??例4 求值：cos8·cos8= .

5??解：cos8·cos8

2213?1?=2(cos4+cos2)=2(-2+0)=-4.

?例5 关于函数f(x)=4sin(2x+3) (x∈R),有下列命题：

①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍；

?②y=f(x)的表达可以改写为y=4cos(2x-6)；

?③y=f(x)的图像关于点(-6,0)对称；

?④y=f(x)的图像关于直线x=-6对称；

其中正确命题的序号是_______.

(注：把你认为正确的命题序号都填上) 解：分别讨论四个命题.

k?????①令4sin(2x+3)=0,得2x+3=kπ (k∈Z),?x=26(k∈Z),设k1??k2????2626,k1≠k2,k1,k2∈Z, x1=,x2=

则f(x1)=f(x2)=0,

?但x1-x2=2(k1-k2),当k1-k2为奇数时，x1- x2不是π的整数倍

∴命题①不正确.

?????②y=f(x)=4sin(2x+3)=4cos［2-(2x+3)］=4cos(-2x+6)=4cos(2x-6)

∵命题②正确 ③根据 ?2x+3 0 ?-6 ?2 π 2?6 3?2 7?12 2π 5?6 x y ?12 0 4 0 -4 0 ?作出y=f(x)=4sin(2x+3)的草图，如图

?由图知，f(x)的图像关于点(-6，0)对称，

∴命题③正确

?④由图知，y=f(x)的图像不关于直线x=-6对称