中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第5章图形的相似与解直角三角形第1节图形的相似与位似精讲试题

1010

A．－5 B．－ C. D．5

33

相似三角形的判定与性质

【例2】(茂名中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点M从点B出发，在BA边上以每秒3 cm的速度向点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2 cm的速度向点B运动，运动时

10??间为t s?0

(1)如图①，若△BMN与△ABC相似，求t的值； (2)如图②，连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．

【解析】(1)△BMN与△ABC相似，分两种情况：△BMN∽△BAC和△BMN∽△BCA，得对应线段成比例，求得t的值；(2)过点M作MD⊥BC于点D，把BM，DM，BD，CN用t表示后，CD就可用t表示，证得△CAN∽△DCM，得对应线段成比例，得关于t的方程，求出t的值．

22

【答案】解：(1)由题意知BA＝6＋8＝10(cm)，BM＝3t cm，CN＝2t cm， ∴BN＝(8－2t)cm.

BMBN

①当△BMN∽△BAC时，有＝，

BABC

3t8－2t20∴＝，解得t＝； 10811

BMBN

②当△BMN∽△BCA时，有＝，

BCBA

∴

3t8－2t32＝，解得t＝. 81023

2032∴当△BMN与△ABC相似时，t的值为或；

1123

(2)如图②，过点M作MD⊥CB于点D. 由题意得BM＝3t cm，CN＝2t cm，

69

DM＝BM·sinB＝3t·＝t(cm)，

105812

BD＝BM·cosB＝3t·＝t(cm)，

105

?12?∴CD＝?8－t?cm.

5??

∵AN⊥CM，∠ACB＝90°，

∴∠CAN＋∠ACM＝90°，∠MCD＋∠ACM＝90°， ∴∠CAN＝∠MCD.

∵MD⊥CB，∴∠MDC＝∠ACB＝90°，

ACCN

∴△CAN∽△DCM.∴＝，

CDDM

62t13∴＝，解得t＝.

129128－tt

55

2．如图，不等长的两对角线AC，BD相交于点O，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形，若OA∶OC＝OB∶OD＝1∶2，则关于这四个三角形的关系，下列叙述中正确的是( B )

A．甲、丙相似，乙、丁相似 B．甲、丙相似，乙、丁不相似 C．甲、丙不相似，乙、丁相似 D．甲、丙不相似，乙、丁不相似

1

3．(自贡中考)如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边的中点，求证：DE綊BC.

2

证明：∵D是AB的中点，E是AC的中点， AD1AE1∴＝，＝， AB2AC2ADAE∴＝. ABAC

又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC. ADDE1

∴＝＝，∠ADE＝∠B， ABBC2

∴BC＝2DE，BC∥DE，

1

即DE綊BC.

2

位似图形

【例3】(2016承德二中模拟)如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC

1

在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，

4

那么点B′的坐标是( D )

A．(－2，3) B．(2，－3)

C．(3，－2)或(－2，3) D．(－2，3)或(2，－3)

【解析】在第二象限与第四象限分别能画出符合条件的矩形OA′B′C′. 【答案】D